Bipower Variation: Memahami Volatiliti Direalisasi yang Tahan Lonjakan

Realized variance frekuensi tinggi menjumlahkan kuasa dua pulangan log intrahari. Dalam model semimartingal yang sesuai, RV menumpu kepada variasi kuadratik apabila sela pensampelan dikecilkan. Jika laluan harga mempunyai difusi berterusan dan lonjakan, had itu merangkumi varians bersepadu serta jumlah kuasa dua lonjakan. Oleh itu RV berguna untuk mengukur jumlah variasi ex post, tetapi tidak menunjukkan dengan sendirinya bahagian yang datang daripada pergerakan berterusan berbanding ketakselanjaran.

Bipower variation menggunakan asas yang berlainan: bukannya mengkuasa duakan satu pulangan, ia mendarab magnitud dua pulangan bersebelahan. Dalam model had, lonjakan terpencil biasanya memasuki satu sela pulangan, manakala pulangan bersebelahan lazimnya kenaikan difusi yang kecil. Apabila grid diperhalus, hasil darab antara pulangan yang mengandungi lonjakan dengan jirannya mengecil; hasil darab pulangan difusi bersebelahan terus mengumpulkan variasi berterusan. Barndorff-Nielsen dan Shephard memperkenalkan penggunaan power variation dan bipower variation untuk memisahkan varians bersepadu daripada variasi akibat lonjakan jarang di bawah model yang dinyatakan (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2004).

Sasarannya ialah varians bersepadu sejarah \(\int_0^T \sigma_t^2\,dt\), bukannya ramalan volatiliti bagi tempoh seterusnya. Panduan pengiraan realized volatility menerangkan ukuran berasaskan pulangan kuasa dua; artikel ini menumpukan pada sebab hasil darab pulangan mutlak bersebelahan memberi tindak balas berbeza terhadap lonjakan.

Pertimbangkan proses harga log sepanjang tetingkap tetap:

\[ X_t=X_0+\int_0^t b_s\,ds+\int_0^t \sigma_s\,dW_s+J_t, \]

dengan sebutan pertama selepas \(X_0\) sebagai hanyutan variasi terhingga, \(\sigma_t\) sebagai volatiliti difusi seketika, dan \(J_t\) sebagai komponen lonjakan. Variasi kuadratik proses ini terurai kepada

\[ [X]_T=\int_0^T \sigma_t^2\,dt+\sum_{0<t\leq T}(\Delta X_t)^2, \]

dengan \(\Delta X_t=X_t-X_{t-}\). Komponen pertama ialah varians bersepadu berterusan; komponen kedua ialah variasi lonjakan. Sumbangan sesuatu lonjakan ialah kuasa dua saiznya, sama ada lonjakan itu positif atau negatif. Panduan variasi kuadratik dalam kewangan menerangkan mengapa kuantiti laluan ini berbeza daripada varians sekumpulan harga statik.

Dengan \(n\) pulangan log intrahari \(r_i=X_{i\Delta}-X_{(i-1)\Delta}\), dengan \(\Delta=T/n\), realized variance ialah

\[ RV_n=\sum_{i=1}^{n}r_i^2. \]

Apabila jarak pensampelan mengecil di bawah syarat semimartingal biasa, \(RV_n\) menganggar keseluruhan variasi kuadratik, termasuk lonjakan. Maka laporan yang menamakan RV sebagai “volatiliti berterusan” tanpa andaian tiada lonjakan mencampuradukkan dua sasaran.

Biarkan \(Z\) ialah normal piawai dan \(\mu_1=E|Z|=\sqrt{2/\pi}\). Satu konvensyen lazim bagi realized bipower variation ialah

\[ BV_n=\mu_1^{-2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}| =\frac{\pi}{2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}|. \]

Faktor \(\pi/2\) menormalkan hasil darab kenaikan Gaussian mutlak kepada skala varians berterusan. Faktor \(n/(n-1)\) ialah pembetulan hujung sampel kecil dalam satu konvensyen lazim; sesetengah takrif menggugurkannya kerana nilainya menghampiri satu apabila \(n\) bertambah. Nyatakan konvensyen yang digunakan apabila membandingkan hasil.

Jumlah itu menggunakan pasangan bersebelahan yang bertindih: pulangan 2 dipasangkan dengan pulangan 1, pulangan 3 dengan pulangan 2, dan seterusnya. Ia tidak melabel setiap pemerhatian sebagai “lonjakan” atau “tiada lonjakan”. Sebaliknya, hasil asimptotik bergantung pada hakikat bahawa di bawah lonjakan aktiviti terhingga, hanya bilangan terhingga kejiranan kecil mengandungi lonjakan apabila grid diperhalus, sementara hasil darab pulangan difusi bersebelahan menghasilkan had varians bersepadu berterusan. Teori had membenarkan tingkah laku volatiliti stokastik yang luas, termasuk kebergantungan seakan leverage, di bawah andaian yang dinyatakan (Barndorff-Nielsen et al., 2006).

<!-- learn:illustration -->

Andaikan satu sesi hipotetikal mempunyai tujuh pulangan log dalam unit mata asas:

Anggap pulangan keempat mengandungi satu lonjakan hipotetikal \(+12\) bp dan pergerakan berterusan dalam sela itu boleh diabaikan. Maka

\[ RV_7=1+1+0.01+144+0.01+1+1=148.02\ \mathrm{bp}^2. \]

Jumlah enam hasil darab mutlak bersebelahan ialah \(4.60\ \mathrm{bp}^2\). Dengan konvensyen pembetulan hujung yang dinyatakan,

\[ BV_7=\frac{\pi}{2}\frac{7}{6}(4.60)\approx 8.42994\ \mathrm{bp}^2, \qquad RV_7-BV_7\approx139.59006\ \mathrm{bp}^2. \]

Kuasa dua saiz lonjakan yang dimasukkan ialah \(12^2=144\ \mathrm{bp}^2\). Perbezaannya bukan tepat 144: hasil darab bersebelahan dengan lonjakan mengandungi sebutan \(12\times0.1\), dan sampel tujuh pulangan juga mempunyai variasi sampel terhingga yang biasa. Contoh rekaan yang kecil ini membolehkan aritmetik disemak; ia bukan data pasaran yang diperhatikan dan bukan dakwaan bahawa beza dalam tetingkap pendek memulihkan variasi lonjakan dengan tepat.

Hasil kekonsistenan standard bersyarat. Dalam semimartingal volatiliti stokastik berterusan dengan bilangan lonjakan terhingga sepanjang tetingkap, BV menumpu kepada varians bersepadu berterusan apabila sela pemerhatian semakin rapat tanpa hingar mikrostruktur. Dalam tetapan sama, \(RV_n-BV_n\) menumpu kepada jumlah kuasa dua lonjakan. Ini pemisahan asimptotik, bukannya jaminan bagi setiap siri pulangan atau grid terhingga.

Syarat aktiviti terhingga itu penting. Jika terdapat banyak lonjakan kecil atau aktiviti lonjakan tidak terhingga, variasi lonjakan boleh menyumbang secara ketara kepada hasil darab pulangan mutlak bersebelahan; hasil BV standard mungkin tidak mengasingkan komponen Brownian sahaja. Sambungan, pemangkasan atau ujian lonjakan lain mungkin diperlukan, masing-masing dengan andaian tersendiri. Aït-Sahalia dan Jacod membangunkan ujian lonjakan frekuensi tinggi yang berbeza dengan skop semimartingal lebih luas; ia rangka kerja ujian alternatif, bukannya bukti bahawa BV biasa mengendalikan setiap proses lonjakan (Aït-Sahalia & Jacod, 2009).

Reka bentuk pemerhatian juga penting. Pulangan perlu merujuk kepada tetingkap bersama dan siri harga yang boleh dipertahankan. Sela yang jarang, sebut harga lapuk, dagangan tidak segerak, jurang semalaman dan lonjakan berhampiran sempadan sesi melemahkan tafsiran grid halus. Pensampelan lebih kerap hanya membantu jika pemerhatian menghampiri harga cekap terpendam dan bukannya menambah hingar mikrostruktur.

Di bawah model asimptotik tanpa hingar dengan lonjakan aktiviti terhingga, RV ditolak BV menganggar variasi lonjakan. Dalam sampel terhingga, beza itu boleh menjadi negatif walaupun jumlah kuasa dua lonjakan tidak boleh negatif. Ini boleh berlaku kerana RV dan BV ialah anggaran bising bagi had yang berlainan. Jangan potong nilai negatif kepada sifar secara senyap: pemotongan mengubah tingkah laku pensampelan penganggar dan perlu dilaporkan sebagai peraturan nyata.

Ujian statistik menjawab soalan lain: adakah jurang yang diperhatikan besar berbanding ketidakpastian pensampelannya di bawah hipotesis nol tanpa lonjakan? Barndorff-Nielsen dan Shephard menerbitkan ujian asimptotik berasaskan power variation direalisasi dan bipower variation. Versi yang boleh digunakan menganggar kuartikiti berkaitan, sering dengan ukuran multipower, dan bukannya menganggap beza mentah sebagai ambang keertian (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2006). Threshold bipower variation kemudian dibangunkan untuk mengurangkan herotan lonjakan dalam sampel terhingga serta menyokong inferens di bawah alternatif yang mengandungi lonjakan (Corsi, Pirino & Reno, 2010).

Lonjakan yang dikesan masih merupakan pengelasan statistik berasaskan model pada frekuensi pensampelan dan aras keertian yang dipilih. Ia tidak mengenal pasti punca berita, tidak membuktikan pedagang boleh melaksanakan dagangan pada harga yang direkodkan, dan tidak menunjukkan strategi yang menguntungkan.

BV klasik bukan penganggar frekuensi tinggi yang teguh terhadap hingar. Dengan harga diperhatikan \(Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}\), bid–ask bounce, pembundaran dan kemas kini sebut harga menambah hingar pada setiap pulangan. Oleh sebab BV mendarab nilai mutlak pulangan bersebelahan, hingar tidak hilang hanya kerana rumus menggunakan hasil darab bersebelahan. Pensampelan yang sangat rapat boleh menjadikan sumbangan hingar lebih penting.

Ini masalah yang berlainan daripada lonjakan. Realized kernel dan two-scale realized variance menyasarkan penganggaran volatiliti di bawah hingar mikrostruktur melalui binaan yang berlainan; kedua-duanya tidak boleh menggantikan BV biasa, dan keteguhan terhadap hingar tidak semestinya bermakna keteguhan terhadap lonjakan. Panduan realized kernel menerangkan salah satu kaedah yang berfokus pada hingar.

Jika persoalan kajian memerlukan hingar dan lonjakan ditangani serentak, gunakan kaedah yang diterbitkan untuk kedua-dua ciri itu dan nyatakan syaratnya. Podolskij dan Vetter membangunkan modulated bipower variation untuk pemerhatian bising serta membina versi yang teguh terhadap lonjakan aktiviti terhingga; ini penganggar yang diubah suai, bukannya rumus tanpa pelarasan di atas (Podolskij & Vetter, 2009). Pilihan praktikal termasuk pensampelan kurang kerap, pre-averaging, ukuran berambang atau penganggar teguh hingar. Setiap pilihan mengubah estimand, tetapan parameter atau pengiraan ketidakpastian.

Apabila andaian BV dipenuhi, ia menganggar komponen sejarah varians bersepadu berterusan. RV menganggar jumlah variasi kuadratik bagi laluan yang mempunyai lonjakan. Bezanya boleh menganggar variasi kuadratik lonjakan secara asimptotik. Tiada satu pun kuantiti ini secara automatik menjadi ramalan, had risiko atau isyarat kemasukan. Model ramalan boleh menggunakan RV dan BV terdahulu sebagai peramal berasingan, tetapi nilai ramalannya perlu dinilai di luar sampel dengan masa ketersediaan maklumat dan kos dagangan dikawal.

Punca kuasa dua anggaran varians hanya menjadi ukuran volatiliti apabila tetingkap masa dan unitnya dinyatakan. Jika pulangan dalam mata asas, varians berunit bp² dan punca kuasa duanya berunit bp bagi tetingkap pensampelan tersebut. Pengannualan memerlukan andaian skala masa yang jelas; mendarab dengan faktor kalendar tidak menghapuskan lonjakan, hingar mikrostruktur atau pilihan pengukuran semalaman. Panduan risiko lonjakan membincangkan sebab perubahan harga tidak berterusan penting untuk pendedahan lindung nilai, tetapi tidak menukarkan penguraian BV sejarah menjadi arahan dagangan.

Nyatakan aset, input harga (dagangan, sebut harga atau titik tengah), takrif pulangan, frekuensi pensampelan, sempadan sesi, serta cara sela semalaman dan pemerhatian hilang dikendalikan. Laporkan rumus RV dan BV, konvensyen normalisasi sampel terhingga, bilangan pulangan dan unit. Jika mengira \(RV-BV\), tunjukkan beza mentah dan nyatakan sama ada ambang, pemangkasan atau had bukan negatif digunakan.

Terangkan model yang menyokong tafsiran: volatiliti stokastik berterusan dengan lonjakan aktiviti terhingga, atau model lonjakan lebih luas yang menggunakan penganggar lain. Dedahkan sebarang pembetulan hingar mikrostruktur, statistik ujian lonjakan, anggaran kuartikiti, aras keertian dan pelarasan ujian berbilang. Sertakan ukuran ketidakpastian bersama penguraian itu.

Kegunaan bipower variation ialah hasil darab pulangan mutlak bersebelahan mengekalkan had variasi berterusan sambil mengurangkan kesan asimptotik lonjakan terpencil beraktiviti terhingga. Hadnya juga mesti dinyatakan: rumus standard bukan penapis lonjakan sejagat, ujian keertian atau pembetulan hingar mikrostruktur. Kekalkan had tersebut apabila digunakan untuk penyelidikan atau analisis risiko.