Persamaan Maju dan Mundur Kolmogorov Diterangkan

Proses Markov menggunakan operator peralihan P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] untuk memetakan fungsi masa hadapan kembali kepada keadaan semasa

Hubungan Chapman–Kolmogorov P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} menyatakan bahawa memasukkan masa perantaraan tidak mengubah peralihan

Persamaan ke hadapan dan ke belakang ialah pandangan pembezaan terhadap semigrup yang sama atau keluarga evolusi dua parameter

Bagi dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t, penjananya ialah L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ dengan a = σ²

Ia bertindak pada fungsi ujian keadaan dan merumuskan perubahan bersyarat seketika fungsi itu

Penjana bergantung pada proses, ruang keadaan, domain, dan tingkah laku sempadan; ungkapan pembezaan formal sahaja tidak lengkap

Bagi fungsi terminal g, takrifkan u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] dengan s ≤ t

Di bawah keteraturan yang sesuai, u memenuhi ∂_s u + L_su = 0 dan syarat terminal u(t,x) = g(x)

Ia dipanggil ke belakang kerana fungsi hujung ditetapkan dan masa bersyarat s bergerak menuju masa kini

Adjung L_t† ditakrifkan melalui ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx selepas sebutan sempadan diuruskan

Bagi difusi satu dimensi, L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)

Adjung memindahkan penjana daripada fungsi ujian kepada ketumpatan, lalu membalikkan terbitan apabila pengamiran mengikut bahagian memerlukannya

Jika ρ(t,x) ialah ketumpatan keadaan, ia memenuhi ∂_tρ = L_t†ρ daripada taburan awalnya

Persamaan yang sama apabila digunakan pada ketumpatan peralihan mengembangkan pemboleh ubah destinasi sambil mengekalkan titik permulaan tetap

Normalisasi, ketaknegatifan, fluks, dan syarat sempadan menentukan sama ada penyelesaian formal ialah hukum kebarangkalian yang sah

Penilaian derivatif biasanya menyelesaikan persamaan ke belakang daripada hasil terminal, dengan pendiskaunan menambah sebutan pembunuhan

Ramalan taburan, profil pendedahan, kalibrasi ketumpatan, dan sesetengah pengiraan risiko menyelesaikan persamaan ke hadapan daripada hukum keadaan hari ini

Kedua-dua output patut sepadan melalui pengamiran: nilai ke belakang bersamaan hasil masa hadapan yang diintegrasikan terhadap ketumpatan peralihan ke hadapan

Sempadan menyerap, memantul, masuk, dan tidak boleh dicapai mengenakan syarat nilai serta fluks kebarangkalian yang berbeza

Semak pemeliharaan atau kehilangan jisim yang disengajakan, kepositifan, data terminal dan awal, pendiskretan adjung, serta penumpuan apabila grid diperluas

Anggaran Monte Carlo yang dilaksanakan secara bebas boleh mendedahkan kesilapan tanda, hanyutan, sempadan, dan arah masa dalam mana-mana penyelesai PDE