Transformasi Esscher dalam penentuan harga opsyen: penjelasan
Fahami pencondongan eksponen, peralihan kumulan, perubahan ukuran Lévy, pemilihan parameter martingal, pasaran tidak lengkap, dan semakan kewujudan
Jawapan terus
Transformasi Esscher memberikan berat kepada hasil x dengan e^{θx} dan menormalkannya menggunakan fungsi penjana momen. Dalam model aset eksponen, θ boleh dipilih supaya harga terdiskaun menjadi martingal di bawah ukuran yang dicondongkan
Pencondongan eksponen memberikan semula berat kepada hasil
Bagi pemboleh ubah rawak X dengan M(θ) = E[e^{θX}] yang terhingga, takrifkan dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
θ positif menekankan hasil yang lebih besar dan θ negatif menekankan hasil yang lebih kecil, manakala penormalan menjadikan jumlah berat baharu sama dengan satu
Transformasi ini mengubah kebarangkalian, bukan hasil yang diperhatikan, dan hanya wujud apabila momen eksponen adalah terhingga
Fungsi kumulan beralih dengan kemas
Biarkan κ(u) = log E[e^{uX}] pada domain momennya
Di bawah ukuran Esscher, kumulan ialah κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
Terbitan κ_θ pada sifar memberikan momen yang dicondongkan apabila terhingga, menjadikan transformasi ini sesuai untuk kaedah titik pelana dan pengiraan risiko
Sesuatu proses memerlukan ketumpatan yang konsisten mengikut masa
Bagi proses Lévy X_t, proses ketumpatan ialah Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
Pertambahan bebas dan pegun menjadikan Z martingal positif apabila θ berada dalam domain momen yang sah
Di bawah Q_θ proses itu kekal Lévy, tetapi hanyut dan hukum lompatnya berubah, manakala hasil laluan dan peristiwa sifar kekal serasi
Ukuran Lévy dicondongkan secara eksponen
Di bawah konvensyen yang sesuai, ukuran lompat berubah daripada ν(dx) kepada ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
Varians Brownian kekal tidak berubah, manakala hanyut diselaraskan untuk pencondongan Brownian, pampasan lompat, dan konvensyen pemotongan
Oleh itu, membandingkan parameter hanyut tanpa menyatakan fungsi pemotongan boleh menghasilkan percanggahan palsu
Syarat martingal memilih parameter penentuan harga
Bagi S_t = S_0e^{X_t} dengan bawa r-q, sifat martingal terdiskaun memerlukan κ_θ(1) = r-q
Setara dengannya, selesaikan κ(θ+1) - κ(θ) = r-q apabila kedua-dua momen eksponen wujud
Persamaan itu mungkin tiada penyelesaian, mempunyai satu penyelesaian, atau tidak stabil secara berangka berhampiran sempadan momen; pemilihan parameter tidak berlaku secara automatik
Esscher ialah satu pilihan dalam pasaran tidak lengkap
Risiko lompat secara amnya tidak diliputi sepenuhnya, jadi banyak ukuran martingal setara mungkin memenuhi ketiadaan arbitraj
Peraturan Esscher memilih satu ukuran dengan mengekalkan keluarga model yang dicondongkan secara eksponen, tetapi ketiadaan arbitraj sahaja tidak memberikannya keutamaan berbanding setiap alternatif
Keutamaan ekonomi, sasaran penentukuran, kriteria entropi, objektif lindung nilai, atau konvensyen pasaran mungkin membawa kepada ukuran yang berbeza
Pengesahan mesti merangkumi ekor
Sahkan domain momen untuk θ dan θ+1, penormalan ketumpatan, sokongan setara, kesamaan martingal, dan triplet yang ditransformasikan
Lakukan penentukuran semula merentas tempoh matang dan rejim, kerana θ dalam sampel yang stabil boleh menyembunyikan ekstrapolasi ekor yang tidak stabil
Bandingkan harga opsyen dan ralat lindung nilai di bawah ukuran lain yang dibenarkan untuk mendedahkan kos risiko model akibat pilihan Esscher
Soalan lazim
Apakah transformasi Esscher dalam istilah mudah?
Ia membentuk hukum kebarangkalian baharu dengan memberikan lebih banyak berat secara eksponen kepada hasil yang lebih besar atau lebih kecil, kemudian menormalkannya semula
Bagaimanakah parameter Esscher dipilih untuk penentuan harga opsyen?
Ia biasanya dipilih supaya harga aset yang dimodelkan dan didiskaunkan menjadi martingal di bawah ukuran yang ditransformasikan
Adakah transformasi Esscher sentiasa wujud?
Tidak. Momen eksponen yang diperlukan mestilah terhingga, dan persamaan martingal mungkin tiada penyelesaian yang dibenarkan
Adakah ukuran martingal Esscher unik?
Parameternya mungkin unik dalam keluarga Esscher, sementara ukuran martingal setara yang lain masih boleh wujud
Sumber dan bacaan lanjut
Semakan pantas
Sudah membaca panduan? Uji diri dengan 3 soalan
Soalan 01
Pernyataan manakah yang paling tepat untuk panduan ini — Pencondongan eksponen memberikan semula berat kepada hasil?
Pilih jawapan untuk melihat penjelasan
Glosari opsyen
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Baca panduan terperinciGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Baca panduan terperinci