DCC-GARCH: Menganggar Korelasi Aset yang Berubah Mengikut Masa

Matriks kovarians bukan sekadar senarai hubungan jangka panjang. Pada sesuatu masa keputusan, pelabur mungkin memerlukan varians bersyarat bagi setiap pulangan dan kovarians bersyarat bagi setiap pasangan aset, berdasarkan maklumat yang tersedia setakat itu. Jika volatiliti dan pergerakan bersama berubah mengikut masa, satu matriks yang dianggar menggunakan keseluruhan sampel akan mencampurkan tempoh tenang, tempoh tekanan dan kemungkinan perubahan struktur.

DCC-GARCH ialah salah satu cara untuk membolehkan matriks korelasi bersyarat berubah sambil mengekalkan model yang ringkas. Makalah Robert Engle pada 2002 mencadangkan spesifikasi korelasi bersyarat dinamik yang menggabungkan model volatiliti univariat dengan rekursi korelasi berparameter sedikit (Engle, 2002). Pendekatan ini menangani masalah skala praktikal: model kovarians yang tidak disekat sepenuhnya memerlukan lebih banyak parameter apabila bilangan aset bertambah.

Kaedah ini berguna apabila persoalannya ialah bagaimana kebergantungan bersyarat berubah selepas volatiliti setiap siri yang turut berubah diambil kira. Ia tidak menentukan sebab aset bergerak bersama. Untuk pengenalan kepada varians bersyarat yang berubah dalam satu siri, lihat panduan pengelompokan volatiliti dan GARCH. Untuk korelasi pasangan FX dan batas mentafsirkannya sebagai pendedahan bersama, lihat panduan korelasi pasangan forex.

Biarkan \(r_t\) ialah vektor pulangan bagi \(N\) aset dan \(\mu_t\) ialah min bersyaratnya. Inovasi ditakrifkan sebagai \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\). DCC memecahkan matriks kovarians bersyarat seperti berikut:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

dengan \(\mathcal{F}_{t-1}\) ialah maklumat yang tersedia sebelum pemerhatian masa \(t\), \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) memuatkan sisihan piawai bersyarat, dan \(R_t\) ialah matriks korelasi bersyarat.

Setiap \(\sigma_{i,t}^2\) boleh dimodelkan menggunakan persamaan keluarga GARCH univariat. Contohnya,

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Model marginal ini menjawab bagaimana skala inovasi aset \(i\) berubah mengikut sejarahnya sendiri. Ia tidak bermaksud korelasi dengan aset \(j\) turut berubah. Sebaliknya, perubahan \(R_t\) sahaja tidak menunjukkan bahawa volatiliti salah satu aset sedang meningkat.

Kovarians menggabungkan kedua-dua kesan:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

Kovarians boleh meningkat apabila volatiliti marginal satu atau kedua-dua aset naik walaupun \(\rho_{ij,t}\) kekal. DCC cuba menganggar perubahan masa dalam korelasi bersyarat yang masih ada selepas variasi marginal diasingkan. Inilah perbezaan utama daripada memadankan GARCH secara berasingan kemudian menganggap kovarians pulangan mentah sebagai tetap.

Selepas memadankan min bersyarat dan varians marginal, bentuk inovasi piawai:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Jika model marginal memadai, setiap komponen \(z_t\) sepatutnya mempunyai varians bersyarat kira-kira satu. Komponen ini masih boleh saling bergantung pada masa yang sama; corak bersama itulah maklumat untuk mengemas kini korelasi. Pemiawaian mengelakkan pergerakan mentah yang besar pada aset yang sememangnya sangat volatil daripada terus dianggap sebagai bukti kebergantungan lebih kuat berbanding kejutan piawai yang sebanding pada aset lain.

Dalam amalan, residual piawai ialah kuantiti yang dianggar, bukannya kebenaran yang diperhatikan secara langsung. Model min yang lemah boleh meninggalkan struktur boleh ramal dalam \(\epsilon_t\), manakala model volatiliti yang lemah boleh meninggalkan skala berubah dalam \(z_t\). Kedua-dua masalah boleh diserap oleh peringkat korelasi dan memesongkan \(R_t\). Taburan berekor tebal, pencilan, tarikh yang hilang, waktu dagangan yang tidak segerak, tindakan korporat dan harga lapuk turut menjejaskan residual yang masuk ke rekursi.

Engle dan Sheppard menghuraikan pendekatan dua peringkat: anggar model GARCH univariat, kemudian anggar parameter korelasi daripada residual piawainya (Engle dan Sheppard, 2001). Pemisahan padanan marginal memudahkan penggunaan DCC. Namun, anggaran korelasi peringkat kedua perlu ditafsirkan dengan mengambil kira spesifikasi peringkat pertama dan cara siri input dijajarkan.

Rekursi DCC standard mula-mula mengemas kini matriks bantu positif tentu \(Q_t\):

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

Di sini \(\bar Q\) ialah matriks jangka panjang inovasi piawai, \(a\) mengawal sejauh mana pergerakan bersama terkini mempengaruhi kemas kini, dan \(b\) mengawal persistens daripada \(Q\) sebelumnya. Dalam spesifikasi DCC skalar yang lazim, nilai \(a\) dan \(b\) yang tidak negatif dengan \(a+b<1\), bersama \(\bar Q\) dan penginisialisasian yang positif tentu, mengekalkan kepositifan tentu rekursi biasa. Kepegunan ketat dan inferens yang sah tetap bergantung pada model penuh dan andaian yang digunakan. Sekatan ini terpakai kepada spesifikasi pilihan, bukannya jaminan umum untuk setiap varian.

Unsur pepenjuru \(Q_t\) biasanya tidak sama dengan satu, jadi \(Q_t\) sendiri bukan matriks korelasi. Takrifkan \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\), kemudian normalkan:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

Hasilnya mempunyai pepenjuru bernilai satu dan unsur luar pepenjuru berupa korelasi bersyarat tanpa skala. Kovarians bersyarat diperoleh daripada \(H_t=D_tR_tD_t\). Membezakan \(Q_t\), \(R_t\) dan \(H_t\) membantu mengelakkan kekeliruan: rekursi mengemas kini matriks kebergantungan bantu, penormalan menghasilkan korelasi, dan sisihan piawai marginal mengembalikan korelasi kepada skala pulangan aset. Peranan penormalan ini merupakan teras kaedah Engle (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- Ilustrasi konsep tanpa teks: aliran pulangan dengan jalur volatiliti berlainan bersambung kepada reben kebergantungan bersama yang berubah secara beransur-ansur; bukan data pasaran atau ramalan. -->

Dalam pelaksanaan dua peringkat yang lazim, mula-mula padankan min bersyarat dan varians keluarga GARCH univariat bagi setiap aset. Gunakan model yang dipadankan itu untuk mengira \(z_t\), kemudian anggar parameter DCC daripada bahagian korelasi dalam kebolehjadian atau kuasi-kebolehjadian. Peringkat pertama boleh menggunakan kebolehjadian Gaussian walaupun pulangan bukan Gaussian; dalam keadaan keteraturan tertentu, ini boleh menjadi kuasi-kebolehjadian maksimum. Namun, ralat piawai dan inferens perlu sepadan dengan penganggar serta andaian sebenar.

Pemisahan peringkat lebih mudah dari segi pengiraan berbanding menganggar seluruh sistem GARCH multivariat tanpa sekatan. Namun, ketidakpastian parameter marginal mempengaruhi residual piawai dan seterusnya anggaran peringkat kedua. Anggaran \(a\) atau \(b\) bukan ukuran langsung pemalar pasaran yang tidak berubah. Tafsirannya bergantung pada sampel, model marginal, penginisialisasian, andaian taburan dan kestabilan dinamik korelasi.

Input jangka panjang \(\bar Q\) sering berasaskan kovarians sampel residual piawai, tetapi takrif dan pembetulan tepat berbeza-beza. Pelaksanaan perlu menyatakan cara \(\bar Q\) dianggar, cara \(Q_0\) dimulakan, pengendalian pemerhatian hilang, sekatan yang dikenakan dan pengiraan kebolehjadian. Pengoptimuman berhampiran \(a+b=1\), \(\bar Q\) yang hampir singular atau kumpulan aset yang terlalu besar boleh menghasilkan ketidakstabilan. Laporkan diagnostik penumpuan dan uji kepekaan terhadap spesifikasi marginal serta tetingkap yang munasabah.

Bagi urus niaga dengan cap masa tidak tetap, input pulangan segerak DCC standard mungkin tidak sesuai tanpa reka bentuk pensampelan yang teliti. Penganggar lain mungkin diperlukan untuk menangani pemerhatian tidak segerak; lihat panduan kovarians Hayashi–Yoshida. Pengecutan sasaran kovarians yang bising, seperti dalam panduan pengecutan kovarians Ledoit–Wolf, ialah langkah berasingan dan tidak patut dikelirukan dengan rekursi korelasi dinamik DCC.

Pertimbangkan dua inovasi piawai dan satu kemas kini DCC rekaan. Tetapkan \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\) dan \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). Input ini direka hanya untuk menunjukkan pengiraan, bukannya anggaran daripada data pasaran. Kemas kini unsur silang ialah

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Untuk menunjukkan penormalan, anggap nilai pepenjuru rekaan ialah \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) dan \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). Rekursi yang sama menghasilkan

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

Maka korelasi yang dinormalkan ialah

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

Unsur luar pepenjuru matriks bantu meningkat daripada 0.30 kepada 0.35, manakala korelasi yang dilaporkan kira-kira 0.34 kerana pepenjuru \(Q_t\) juga berubah. Melaporkan \(q_{12,t}=0.35\) seolah-olah ia korelasi bermaksud melangkau penormalan. Pengiraan ini menunjukkan satu langkah rekursi sahaja; ia tidak membuktikan keertian statistik, persistens masa depan, pemberat portfolio optimum atau nilai dagangan.

DCC standard menjimatkan parameter kerana parameter respons dan persistens skalar yang sama lazimnya digunakan untuk semua pasangan. Sekatan ini boleh membantu apabila aset banyak, tetapi mungkin terlalu kuat jika pasangan berbeza menyesuaikan diri pada kadar berlainan. Nama DCC juga boleh merangkumi parameterisasi, sekatan, kaedah anggaran atau konvensyen penginisialisasian yang berlainan; nyatakan pelaksanaan sebenar.

Kajian DCC diperbetul oleh Aielli menunjukkan bahawa penganggar DCC konvensional dan tafsiran parameter korelasinya boleh bermasalah apabila dimensi keratan rentas menjadi besar, lalu mencadangkan cDCC dengan rekursi yang diubah suai (Aielli, 2013). cDCC bukan sekadar nama lain bagi DCC standard. Perbezaan ini penting apabila sistem diperluas kepada banyak aset atau pekalinya ditafsir secara struktur.

Spesifikasi DCC umum tak simetri menangani batas lain: kejutan piawai positif dan negatif mungkin memberikan kesan berlainan pada korelasi masa depan. Model AG-DCC oleh Cappiello, Engle dan Sheppard membenarkan parameter kesan berita serta pelicinan khusus bagi setiap siri, di samping ketaksimetrian bersyarat dalam korelasi (Cappiello, Engle, dan Sheppard, 2006). AG-DCC lebih fleksibel daripada rekursi DCC standard yang menggunakan skalar bersama, maka bilangan parameter, sekatan dan tafsirannya juga berubah. Jangan menggantikannya secara senyap atau menganggapnya sentiasa lebih baik tanpa penilaian.

Anggaran \(R_t\) menerangkan korelasi bersyarat yang tersirat dalam model berdasarkan kekerapan data, tetingkap sampel, spesifikasi min, model volatiliti marginal dan varian DCC yang dipilih. Ia tidak mengenal pasti limpahan sebab-akibat. Jika anggaran korelasi meningkat ketika pasaran merosot, kemungkinan penjelasan termasuk berita bersama, perubahan komposisi, kecairan, spesifikasi volatiliti yang tidak sesuai atau mekanisme lain; anggaran sahaja tidak dapat membezakannya.

Untuk pengukuran risiko, bandingkan ramalan kovarians dinamik dengan penanda aras yang munasabah seperti kovarians sampel bergulir atau model korelasi malar. Pada setiap masa mula ramalan, gunakan maklumat yang tersedia ketika itu sahaja, selaraskan kumpulan aset dan ufuk, serta laporkan fungsi kerugian. Jika anggaran digunakan untuk portfolio, pantau perubahan pemberat, kepekatan, pusing ganti, pembiayaan dan kos transaksi. Korelasi anggaran yang lebih tinggi mungkin mengurangkan manfaat kepelbagaian dalam model risiko tertentu, tetapi bukan ramalan bahawa harga kedua-dua aset akan jatuh.

Periksa sama ada korelasi anggaran kekal dalam batas sah, sama ada \(R_t\) yang terhasil kekal positif tentu dan sama ada residual piawai marginal masih mempunyai autokorelasi atau varians berubah. Uji kepekaan terhadap kumpulan aset, penginisialisasian, pencilan, tetingkap dan varian model. Persistens yang hampir satu boleh menyebabkan tindak balas lambat terhadap perubahan struktur; rekursi yang lancar juga boleh ketinggalan apabila rejim berubah secara mendadak. Jika membandingkan banyak pasangan atau varian, nyatakan kriteria pemilihan dan kekalkan perbandingan luar sampel supaya hanya hasil yang menguntungkan tidak dipilih.

DCC-GARCH paling sesuai difahami sebagai model kovarians bersyarat yang ringkas: persamaan marginal menganggar skala yang berubah, rekursi kebergantungan menjejak pergerakan bersama inovasi piawai dan penormalan menukar matriks bantu menjadi korelasi. Matriks anggaran boleh menyokong analisis risiko apabila andaian dinyatakan dan ramalan dinilai. Matriks itu sahaja tidak membuktikan lindung nilai yang stabil, menerangkan punca kejutan atau membuktikan sesuatu strategi akan menghasilkan pulangan.