Pengecutan Kovarians Ledoit–Wolf: Formula, Sasaran dan Risiko Portfolio

Bagi \(T\) pemerhatian pulangan untuk \(N\) aset, matriks kovarians sampel \(S\) menganggarkan varians setiap aset dan kovarians setiap pasangan aset daripada sejarah terhad yang sama. Bilangan elemen matriks yang berbeza meningkat kira-kira mengikut \(N^2\). Jika bilangan aset tidak kecil berbanding bilangan pemerhatian, banyak anggaran kovarians individu mengandungi hingar sampel yang besar.

Hingar ini amat penting apabila prosedur portfolio menyongsangkan matriks itu. Matriks songsang boleh menguatkan ralat anggaran: perubahan kecil pada korelasi anggaran boleh menyebabkan perubahan besar pada pemberat optimum. Bagi kovarians sampel biasa yang telah menolak min, matriks data mempunyai pangkat maksimum \(T-1\), maka \(S\) singular apabila \(N\geq T\). Keadaannya juga boleh menjadi buruk sebelum matriks singular. Ledoit dan Wolf membincangkan masalah berdimensi tinggi ini dalam penyelidikan mereka tentang anggaran kovarians yang berkondisi baik (200400096-4)).

Pengecutan menambah struktur pada anggaran sampel yang bising. Ini ialah pilihan pengregularan untuk input kovarians, bukan bukti bahawa aset benar-benar mengikut model sasaran dan bukan kaedah untuk menganggarkan pulangan jangkaan. Isu lebih luas tentang kesan nilai eigen kovarians sampel terhadap risiko portfolio berkait dengan panduan nilai eigen dan risiko kewangan.

Bentuk linear yang lazim ialah

\[ \widehat{\Sigma}_{\mathrm{lin}}=(1-\widehat{\delta})S+\widehat{\delta}F,\qquad 0\leq\widehat{\delta}\leq1, \]

dengan \(S\) sebagai kovarians sampel, \(F\) sebagai sasaran berstruktur dan \(\widehat{\delta}\) sebagai keamatan pengecutan yang dianggarkan. Pada nilai sifar, anggarannya ialah matriks sampel; pada nilai satu, anggarannya ialah sasaran. Nilai di antaranya membentuk gabungan cembung.

Pilihan \(F\) menentukan corak yang dianggap cukup stabil oleh penganggar untuk dikekalkan. Keamatan menentukan pemberat struktur tersebut berbanding maklumat sampel. Bagi sasaran dan fungsi kehilangan yang ditentukan, prosedur Ledoit–Wolf menganggarkan keamatan daripada data dan bukannya meminta campuran dipilih sesuka hati. Formula plug-in yang tepat berbeza mengikut sasaran dan andaian; tiada satu \(\widehat{\delta}\) bebas sasaran yang mentakrifkan setiap kaedah bernama “Ledoit–Wolf”.

Hasil asal untuk sasaran identiti berdimensi tinggi ialah gabungan cembung yang optimum secara asimptotik di bawah fungsi kehilangan kuadratik dan rejim asimptotik tertentu, bukannya jaminan sejagat bagi setiap sampel atau objektif (Ledoit dan Wolf, 200400096-4)). Oleh itu, fungsi kehilangan dan sasaran perlu dinyatakan apabila menerangkan penganggar.

Beberapa penganggar berkaitan menggunakan idea gabungan yang sama tetapi membentuk struktur kovarians yang berbeza.

• Sasaran indeks tunggal: Faktor pasaran menerangkan pergerakan bersama, manakala model menangani struktur yang selebihnya. Ledoit dan Wolf mencadangkan gabungan berpemberat optimum antara kovarians sampel dan kovarians model indeks tunggal untuk menganggar kovarians pulangan saham (200300007-0)).
• Sasaran identiti berskala: Sasaran meletakkan aras varians bersama pada pepenjuru dan kovarians sifar di luar pepenjuru. Ia menarik nilai eigen ke pusat bersama dan boleh memperbaik keadaan matriks, tetapi mengenakan struktur varians sama dan tiada kovarians yang lebih kuat daripada sasaran korelasi malar.
• Sasaran korelasi malar: Setiap varians sampel dikekalkan, manakala korelasi antara pasangan digantikan dengan satu korelasi purata. Volatiliti setiap aset boleh berbeza, sementara corak kebergantungan dipermudah. Makalah amali tahun 2004 membangunkan pengecutan ke arah sasaran ini (Ledoit dan Wolf, 2004).

Versi ini tidak patut diringkaskan sebagai “pengecutan Ledoit–Wolf sentiasa mengecilkan korelasi ke sifar.” Bergantung pada \(F\), sasaran boleh mengekalkan kovarians faktor bersama, menarik nilai eigen ke arah purata atau mengalihkan korelasi pasangan ke purata rentas aset. Langkah pengregularan kovarians selepas menggabungkan anggaran berpasangan, seperti dalam aliran kerja kovarians tak segerak, juga merupakan pilihan pemodelan yang berasingan.

Biarkan \(S_{ii}\) mewakili varians sampel aset \(i\), dan \(s_i=\sqrt{S_{ii}}\). Bagi \(N\) aset, hitung setiap korelasi sampel \(\widehat{\rho}_{ij}=S_{ij}/(s_is_j)\), kemudian puratakan korelasi unik di luar pepenjuru:

\[ \bar{\rho}=\frac{2}{N(N-1)}\sum_{i<j}\widehat{\rho}_{ij}. \]

Sasaran korelasi malar ditetapkan sebagai

\[ F_{ii}=S_{ii},\qquad F_{ij}=\bar{\rho}\,s_is_j\quad(i\ne j). \]

Dengan itu, sasaran mengekalkan varians sampel pada pepenjuru dan memberikan korelasi \(\bar{\rho}\) yang sama kepada setiap pasangan aset. Anggaran kovarians akhir menggabungkan sasaran ini dengan matriks sampel asal; volatiliti semua aset tidak digantikan dengan satu nilai bersama. Pembinaan sasaran dan keamatannya berbeza daripada penganggar sasaran identiti; pelaksanaan penulis menyatakan bahawa sasaran ini mengekalkan varians sampel dan memberikan satu korelasi bersama (pelaksanaan rujukan).

<!-- learn:illustration --> <!-- Ilustrasi konsep tanpa teks: tiga matriks kovarians simetri 3×3 mengekalkan sel pepenjuru yang sama sementara hubungan sampel luar pepenjuru yang berbeza bergerak ke arah satu sasaran korelasi malar bersama; bukan data atau anggaran. -->

Katakan matriks kovarians sampel hipotetikal, dalam unit kuasa dua mata peratusan, ialah

\[ S=\begin{bmatrix} 4&3&-2\\ 3&9&6\\ -2&6&16 \end{bmatrix}\%^{2}. \]

Sisihan piawai sampel ialah \(2\%\), \(3\%\) dan \(4\%\). Korelasi bagi setiap pasangan aset ialah \(3/(2\cdot3)=0.50\), \(-2/(2\cdot4)=-0.25\) dan \(6/(3\cdot4)=0.50\). Puratanya ialah

\[ \bar{\rho}=(0.50-0.25+0.50)/3=0.25. \]

Sasaran yang terhasil ialah

\[ F=\begin{bmatrix} 4&1.5&2\\ 1.5&9&3\\ 2&3&16 \end{bmatrix}\%^{2}. \]

Untuk tujuan aritmetik sahaja, pilih \(\delta=0.40\). Ini nilai ilustrasi, bukannya keamatan Ledoit–Wolf yang dianggarkan daripada pemerhatian rekaan ini:

\[ \widehat{\Sigma}=0.60S+0.40F= \begin{bmatrix} 4&2.4&-0.4\\ 2.4&9&4.8\\ -0.4&4.8&16 \end{bmatrix}\%^{2}. \]

Pepenjuru kekal \(4,9,16\). Kovarians pada kedudukan \((1,3)\) bergerak daripada \(-2\) ke arah sasarannya, iaitu \(2\), jadi pengecutan tidak bermakna semua kovarians bergerak ke sifar. Kedua-dua matriks yang dipaparkan adalah semidefinit positif, maka gabungan cembungnya juga semidefinit positif. Contoh ini hipotetikal dan hanya menunjukkan aritmetik, bukannya sasaran yang disyorkan atau hubungan pasaran yang diperhatikan.

Bagi pemberat sama \(w=(1/3,1/3,1/3)^\top\), varians model ialah \(w^\top\Sigma w\). Jumlah kesemua sembilan unsur matriks sampel di atas ialah \(43\), maka

\[ w^\top S w=43/9\approx4.7778\ \%^{2}. \]

Jumlah unsur dalam matriks susut ilustrasi ialah \(42.6\), lalu

\[ w^\top\widehat{\Sigma}w=42.6/9\approx4.7333\ \%^{2}. \]

Perbezaan kecil ini terhasil secara mekanik apabila input kovarians berubah. Ia bukan bukti bahawa anggaran susut meramal varians terealisasi dengan lebih baik. Pengoptimum varians minimum juga boleh menghasilkan pemberat yang berbeza kerana ia sering menggunakan nilai kovarians dan matriks songsangnya. Dalam keadaan yang sesuai, pengecutan boleh mengurangkan kepekaan input terhadap hingar sampel, tetapi masih mengubah pendedahan dan pusing ganti.

Bagi portfolio pariti risiko, kovarians mempengaruhi sumbangan setiap aset kepada jumlah risiko, bukan hanya varians agregat; lihat panduan sumbangan risiko sama. Jika anggaran risiko kemudian digunakan untuk menskalakan saiz posisi, seperti dalam volatility targeting, ufuk sasaran serta perbezaan antara risiko terealisasi dengan ramalan masih perlu ditangani secara berasingan.

Pengecutan linear menggunakan satu keamatan skalar untuk menggabungkan seluruh matriks sampel dengan sasaran pilihan. Dalam kes sasaran identiti, ia boleh ditafsirkan melalui nilai eigen: nilai eigen sampel ditarik ke pusat bersama sambil mengekalkan vektor eigen sampel. Ini boleh menstabilkan spektrum yang bising, tetapi pemberat gabungan yang sama mengehadkan perbezaan perubahan antara nilai eigen.

Pengecutan bukan linear pula mengubah nilai eigen sampel satu demi satu, lazimnya dengan mengekalkan vektor eigen sampel dalam penganggar yang setara di bawah putaran. Makalah Ledoit dan Wolf pada 2012 membangunkan transformasi nilai eigen bukan linear untuk anggaran kovarians berdimensi tinggi (2012). Kajian mereka tentang pemilihan portfolio meneliti penganggar yang disesuaikan untuk objektif itu (2017). Kaedah ini bukan gabungan linear berskalar di atas dan tidak patut diterangkan seolah-olah sama.

Penganggar yang lebih fleksibel boleh memadankan struktur kovarians dengan lebih teliti di bawah andaian tertentu, tetapi fleksibiliti tambahan tidak menjadikannya pilihan yang semestinya lebih baik bagi setiap kumpulan aset atau tetingkap. Bandingkan penganggar, andaian, pengiraan dan tingkah laku luar sampel yang khusus. Transformasi nilai eigen juga bukan ramalan rejim korelasi masa hadapan.

Pengecutan menambah struktur untuk mengurangkan varians anggaran, tetapi struktur itu mungkin salah. Sasaran indeks tunggal boleh terlepas hubungan sektor atau gaya; sasaran korelasi malar boleh terlepas kelompok aset; identiti berskala boleh menekan kovarians yang benar-benar wujud. Peralihan rejim, perubahan pendedahan faktor atau pemerhatian tak segerak boleh menjadikan sasaran daripada satu tetingkap sejarah gambaran yang kurang baik bagi tempoh seterusnya. Kaedah ini tidak menjadikan pemerhatian pulangan saling bebas atau pegun.

Pernyataan semidefinit positif mempunyai syarat. Jika \(S\) dan \(F\) kedua-duanya semidefinit positif dan \(0\leq\delta\leq1\), gabungan cembungnya juga semidefinit positif. Namun, itu sahaja tidak menjamin definit positif: sasaran mungkin mempunyai nilai eigen sifar atau pemberat padanya mungkin sifar. Pembuangan data hilang secara berpasangan menggunakan tarikh yang berbeza bagi pasangan aset yang berbeza juga boleh menghasilkan matriks sampel \(S\) yang bukan semidefinit positif. Dalam keadaan itu, hujah kecembungan tidak terpakai melainkan input tersebut dibaiki atau digantikan.

Nyatakan takrif pulangan, kekerapan pensampelan, tetingkap pemerhatian, aturan data hilang, cara min dikendalikan, sasaran dan prosedur keamatan. Jika sesuai, selaraskan semua aset menggunakan skema pemerhatian yang sama. Jangan memilih sasaran hanya kerana ia menghasilkan keputusan backtest paling menarik pada data yang sama digunakan untuk menilainya; pemilihan sasaran dan reka bentuk portfolio sendiri ialah pilihan penyelidikan.

Penilaian yang berguna menetapkan kumpulan aset, ufuk pulangan, aturan pengimbangan semula dan had maklumat, kemudian membandingkan matriks sampel, penganggar pengecutan pilihan dan penanda aras yang sesuai pada tetingkap latihan yang sama. Skorkan ramalan kovarians berbanding ukuran terealisasi kemudian atau nilai ramalan portfolio pada tempoh yang diketepikan. Laporkan fungsi kehilangan dan cara ia mengendalikan ralat varians berbanding kovarians. Ralat matriks dalam sampel yang lebih rendah di bawah satu fungsi kehilangan tidak semestinya bermakna anggaran risiko portfolio masa hadapan lebih baik di bawah fungsi lain.

Bagi aplikasi portfolio, laporkan juga kesan pada pemberat, kepekatan, pusing ganti, kekangan dan anggaran kos urus niaga. Matriks kovarians hanyalah satu input keputusan: pulangan jangkaan, pembiayaan, had risiko dan andaian pelaksanaan boleh mengubah portfolio yang terhasil. Nombor keadaan yang lebih rendah ialah sifat matriks, bukannya jaminan pulangan atau risiko terealisasi.

Ralat anggaran matriks dan ralat keputusan portfolio juga tidak dinilai dengan skor yang sama. Kehilangan yang menjumlahkan kuasa dua ralat semua unsur matriks memberi layanan sama kepada setiap pasangan aset; varians \(w^\top\Sigma w\) untuk pemberat tertentu pula memberikan pemberat yang berbeza kepada setiap varians dan kovarians mengikut pendedahan portfolio. Tentukan sama ada tujuan penyelidikan ialah membina semula matriks atau meramal belanjawan risiko tertentu, kemudian nyatakan kriteria penilaian yang sepadan. Keamatan pengecutan yang dipilih untuk satu objektif belum tentu optimum bagi objektif yang lain.

Semasa membahagikan tempoh penilaian, semak juga bahawa data untuk menganggarkan keamatan, kumpulan aset dan hiperparameter hanya tersedia sebelum tarikh penilaian. Menganggar keamatan menggunakan seluruh sampel sebelum menguji prestasi pada tempoh lalu boleh memasukkan maklumat masa hadapan ke dalam pemilihan. Dalam penilaian bergulir, kira semula penganggar pada setiap masa dengan hanya menggunakan data yang tersedia sehingga ketika itu, dan catat panjang tetingkap sampel serta sela pengimbangan semula. Jika menggunakan proksi kovarians terealisasi, terangkan juga sama ada tempoh ramalan bertindih atau menggunakan semula pemerhatian yang sama.

Tafsiran yang paling dapat dipertahankan adalah terhad: kaedah Ledoit–Wolf menawarkan cara berasaskan data untuk menggabungkan kovarians sampel yang bising dengan sasaran atau transformasi yang dipilih. Hasilnya berguna setakat sasaran, andaian pensampelan dan penilaian sepadan dengan masalah risiko yang hendak ditangani. Ia ialah anggaran struktur kovarians, bukannya isyarat dagangan kendiri atau janji prestasi lebih baik.