Pengembangan Cornish–Fisher untuk Kuantil Risiko

Bagi kebarangkalian p, biarkan z_p=Φ^{-1}(p) menjadi kuantil normal piawai

Cornish–Fisher melaraskan z_p, kemudian menskala semula hasilnya dengan min sasaran μ dan sisihan piawai σ

Ia menjawab ambang yang sepadan dengan p, bukan ketumpatan atau kerugian jangkaan yang berada di luar ambang tersebut

Dengan kecondongan dipiawaikan γ₁ dan kurtosis lebihan γ₂, pemotongan lazim bermula dengan z_p+γ₁(z_p²−1)/6

Kemudian ia menambah γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36 sebelum mendarab dengan σ dan menambah μ

Terma γ₁² menunjukkan bahawa tertib asimptotik tidak sama dengan sekadar menambah satu pembetulan bagi setiap momen lebih tinggi

Cornish–Fisher boleh diterbitkan dengan menyongsangkan anggaran Edgeworth kepada taburan kumulatif

Edgeworth menganggar ketumpatan atau CDF pada x; Cornish–Fisher menganggar x yang mencapai kebarangkalian kumulatif yang dipilih

Kedua-duanya memerlukan jujukan asimptotik dan penskalaan kumulan yang dinyatakan jika pemotongannya hendak mempunyai tertib terkawal

Anggaran pulangan fizikal boleh melaraskan senario VaR sejarah atau ramalan, manakala kumulan tersirat opsyen menerangkan taburan neutral risiko

Kedua-dua input itu menjawab soalan yang berbeza dan tidak patut dicampurkan hanya kerana berkongsi perkataan kecondongan dan kurtosis

Cornish–Fisher membekalkan ambang tetapi bukan expected shortfall, yang bergantung pada keseluruhan taburan kerugian di luar ambang itu

Pembetulan polinomial meningkat dengan cepat bagi |z_p| yang besar dan boleh menyebabkan kuantil anggaran berkurang apabila p meningkat

Kecondongan atau kurtosis yang besar juga boleh meletakkan anggaran di luar sokongan pemboleh ubah atau membalikkan susunan ekor yang dimaksudkan

Penyusunan semula monoton boleh membaiki susunan secara berangka, tetapi lengkung yang dibaiki bukan lagi pengembangan terpotong yang tidak diubah

Kecondongan dan kurtosis sampel bising serta sensitif terhadap pencilan, pilihan tetingkap, peralihan rejim, dan kebergantungan

Menggunakan input yang dianggar seolah-olah diketahui mengabaikan ketidakpastian parameter yang boleh menguasai pembetulan asimptotik formal

Kebarangkalian ekor jauh menguatkan kedua-dua ralat pekali dan ralat pemotongan, tepat di tempat keputusan risiko paling penting

Semak q(p) pada grid kebarangkalian yang padat untuk monotonisiti, nilai terhingga, kekangan sokongan, dan tingkah laku hujung yang munasabah

Bandingkan dengan taburan tepat, simulasi, selang bootstrap, dan kadar lebihan luar sampel pada beberapa aras kebarangkalian

Rekodkan konvensyen kumulan, ufuk sampel, layanan kebergantungan, tertib pemotongan, kaedah pembaikan, dan pengiraan expected shortfall yang berasingan