Analisi di sopravvivenza, tassi di rischio e hazard ratio
Comprendi funzioni di sopravvivenza, hazard, curve Kaplan–Meier, regressione di Cox, rischi proporzionali e applicazioni time-to-event nel credito e nei mercati finanziari.
Risposta diretta
L'analisi di sopravvivenza studia il tempo da un'origine definita fino a un evento, conservando le osservazioni il cui tempo dell'evento è noto solo in parte. La funzione di sopravvivenza è la probabilità di restare senza evento oltre un orizzonte; l'hazard è il tasso istantaneo dell'evento tra le unità ancora a rischio, non una probabilità ordinaria. Kaplan–Meier stima una curva di sopravvivenza non aggiustata, mentre la regressione di Cox collega covariate all'hazard tramite un hazard ratio. Ogni interpretazione dipende dall'origine temporale, dalla definizione dell'evento, dal processo di censura e dall'ipotesi di rischi proporzionali.
Tempo ed evento devono essere definiti insieme
Un risultato binario registra se si è verificato un default. I dati time-to-event registrano anche quando è avvenuto e per quanto tempo è stato osservato un prestito senza default.
L'orologio può iniziare all'origine, alla quotazione, all'adozione di una politica o all'ingresso nel portafoglio. Cambiare origine cambia gli insiemi a rischio e la domanda a cui si risponde.
Definisci evento, scala temporale, finestra di osservazione, ingresso ritardato ed eventi ripetuti prima di scegliere uno stimatore. Orologi ambigui producono risposte precise a domande poco chiare.
Sopravvivenza e hazard descrivono oggetti diversi
La funzione di sopravvivenza S(t) è la probabilità che il tempo dell'evento T superi t. Scende da uno man mano che gli eventi si accumulano e sostiene probabilità di sopravvivenza specifiche per orizzonte.
L'hazard h(t) è un tasso istantaneo condizionato al fatto di essere rimasti senza evento fino a t. Può superare uno perché è un tasso, non una probabilità di periodo.
La sopravvivenza riflette l'hazard accumulato nel tempo. Un hazard alto e breve e un hazard moderato e persistente possono produrre curve diverse pur condividendo un valore in un momento.
Kaplan–Meier costruisce la curva dagli insiemi a rischio
A ogni tempo di evento, lo stimatore Kaplan–Meier moltiplica la stima precedente di sopravvivenza per la frazione dell'insieme a rischio che supera quel tempo di evento.
Le unità censurate a destra contribuiscono mentre sono osservate e lasciano l'insieme a rischio alla censura. Non vengono conteggiate come eventi né si presume che sopravvivano per sempre.
Le stime tardive possono poggiare su poche unità residue. Mostra numero a rischio e fasce di confidenza affinché una lunga coda visiva non venga scambiata per evidenza forte.
Le curve possono essere confrontate in più modi
La sopravvivenza mediana è il primo momento in cui la curva raggiunge la metà, ma è indefinita quando meno della metà delle unità sperimenta l'evento.
Il tempo medio di sopravvivenza ristretto integra la curva fino a un orizzonte scelto ed esprime il tempo atteso senza evento entro quella finestra.
Il test log-rank confronta eventi osservati e attesi tra gli insiemi a rischio sotto una nulla di curve uguali, ma un p-value non descrive dimensione o tempistica dell'effetto.
La regressione di Cox modella l'hazard relativo
Il modello di Cox scrive l'hazard di un'unità come hazard di base non specificato moltiplicato per un effetto esponenziale delle covariate. La likelihood parziale stima gli effetti relativi senza specificare la forma di base.
Un hazard ratio di 1.5 significa che il tasso istantaneo dell'evento è stimato del 50% più alto a ogni tempo confrontato sotto rischi proporzionali e covariate fisse.
Non è un aumento del 50% della probabilità cumulativa dell'evento, una frase sul tempo mediano o una differenza costante di rischio assoluto. Il rischio di base resta importante.
I rischi proporzionali sono una restrizione sostanziale
Il coefficiente Cox standard presume che l'hazard ratio resti costante nel tempo. Curve di sopravvivenza che si incrociano o effetti variabili possono contraddire questo riassunto.
Pattern dei residui di Schoenfeld e interazioni temporali possono diagnosticare la non proporzionalità, ma un test non significativo non stabilisce l'ipotesi.
Usa coefficienti variabili nel tempo, stratificazione, modelli parametrici flessibili o contrasti specifici per orizzonte quando un rapporto costante nasconde il processo.
Le applicazioni finanziarie richiedono disciplina degli insiemi a rischio
Default di prestiti, violazione di covenant, chiusura di fondi, churn dei clienti e tempo all'acquisizione sono esiti naturali time-to-event con follow-up incompleto.
Condizioni macroeconomiche e variabili del conto possono cambiare nel tempo. Usare informazioni future come covariata di base crea look-ahead bias.
Delisting, rifinanziamento e rimborso anticipato possono essere eventi concorrenti, non censura innocua. Il loro trattamento deve seguire la domanda aziendale.
Riporta insieme risultati assoluti e relativi
Dichiara orologio, evento, regole di censura, regole d'ingresso, orizzonte, tempistica delle covariate e gestione dei pareggi o degli eventi ripetuti.
Fornisci tabelle di rischio, probabilità di sopravvivenza a orizzonti utili, mediane o medie ristrette, hazard ratio con intervalli e diagnostica delle ipotesi.
La conclusione più utile combina associazione relativa con una probabilità assoluta di evento per una popolazione e un orizzonte identificati, senza chiamare nessuna delle due una garanzia previsiva.
Domande frequenti
Un tasso di rischio può essere maggiore di uno?
Sì. L'hazard è un tasso istantaneo per unità di tempo, non una probabilità limitata su un intervallo fisso.
Un hazard ratio di 2 equivale al doppio della probabilità dell'evento?
No. Confronta tassi istantanei tra sopravvissuti correnti; le probabilità cumulative dipendono anche dall'hazard di base e dal tempo.
Cosa succede quando non si raggiunge la sopravvivenza mediana?
Riporta la sopravvivenza a orizzonti pertinenti o il tempo medio ristretto invece di estrapolare una mediana non supportata.
Kaplan–Meier aggiusta per le covariate?
Lo stimatore di base no. Le curve stratificate confrontano gruppi, mentre i metodi di regressione modellano le associazioni delle covariate.