Calcolo di Stratonovich e Itô: spiegazione
Scopri come differiscono gli integrali stocastici di Stratonovich e Itô, come convertire i loro termini di drift e perché i modelli finanziari devono dichiarare la convenzione
Risposta diretta
Il calcolo di Itô e quello di Stratonovich descrivono la stessa dinamica stocastica opportunamente convertita, ma valutano gli integrandi rumorosi in punti diversi di ogni intervallo. La conversione aggiunge un termine di drift da variazione quadratica, quindi un'equazione è incompleta finché non viene nominata la convenzione d'integrazione
Il punto di campionamento cambia l'integrale
Un integrale di Itô usa le informazioni dell'estremo sinistro di ogni intervallo. Questo rende l'integrando prevedibile e dà all'integrale una proprietà di martingala in condizioni standard
Un integrale di Stratonovich usa un limite di tipo punto medio. Segue più da vicino la regola ordinaria della catena per cambi di coordinate regolari
Nessuna notazione è automaticamente più realistica. La convenzione appropriata segue dal limite di modellazione, dal flusso informativo e dalla quantità rappresentata
Convertire le convenzioni cambia il drift
Per una diffusione unidimensionale, dX = a(X)dt + b(X)∘dW in forma di Stratonovich diventa dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW in forma di Itô
Il termine aggiuntivo non è una correzione discrezionale. Deriva dalla covariazione quadratica tra l'integrando dipendente dallo stato e il moto browniano
Quando b è costante, b' è zero e le due forme coincidono. È la volatilità dipendente dallo stato il punto in cui la mescolanza silenziosa diventa costosa
Un esempio di rumore moltiplicativo mostra la differenza
Prendi b(X) = σX e un drift di Stratonovich nullo. Il drift equivalente di Itô è 1/2σ²X
Usando σ = 40% si ottiene una correzione dell'8% di X per anno prima di ogni drift economico specificato separatamente
Quel numero è un cambiamento di rappresentazione, non un rendimento atteso dell'azione né un alpha negoziabile. Un modello finanziario deve ancora specificare misura, carry, dividendi e vincoli [!TRYMARK] Conserva la convenzione con lo scenario A una data o a un checkpoint degli utili, registra input dell'azione, ipotesi di IV, risultato obiettivo e se il modello usa dinamiche di Itô o Stratonovich. Un drift copiato senza la sua convenzione può cambiare il risultato del percorso prima che il mercato si muova
I modelli di prezzo normalmente dichiarano dinamiche di Itô
I modelli di valutazione degli asset a tempo continuo usano comunemente processi di Itô perché le strategie autofinanziate si adattano alle informazioni disponibili prima dello shock successivo
Il lemma di Itô, le misure martingala e la derivazione standard di Black–Scholes sono scritti con quella convenzione
I modelli fisici derivati da limiti di rumore colorato possono produrre naturalmente equazioni di Stratonovich. Convertili prima di combinarli con un calcolo di prezzo o copertura in Itô
La conversione non risolve il rischio di modello
Un'equazione può essere convertita correttamente e omettere comunque salti, volatilità stocastica, liquidità, copertura discreta o parametri mal specificati
I sistemi multidimensionali richiedono l'intera struttura di Jacobiana e covarianza, non una scorciatoia scalare metà-per-b-per-b-primo
Dichiara sempre SDE, convenzione d'integrazione, misura di probabilità, unità di tempo e interpretazione del rumore prima di confrontare risultati
Domande frequenti
Il calcolo di Stratonovich è più corretto di quello di Itô?
No. Sono descrizioni equivalenti quando convertite correttamente. La forma giusta dipende da come nasce il modello stocastico e da come verrà usato
Perché il drift cambia durante la conversione?
L'integrando può muoversi insieme al moto browniano quando dipende dallo stato. La covariazione quadratica sopravvive come correzione di drift finita
Posso usare la regola ordinaria della catena con un processo di Itô?
Non direttamente. Il lemma di Itô aggiunge un termine di secondo ordine dalla variazione quadratica. La notazione di Stratonovich ripristina una regola dall'aspetto ordinario solo con la propria convenzione