Il lemma di Itô nella valutazione delle opzioni: spiegazione
Scopri perché le funzioni stocastiche richiedono un termine aggiuntivo di secondo ordine, come il lemma di Itô espande il valore di un'opzione e come la copertura delta conduce a un'equazione di valutazione
Risposta diretta
Il lemma di Itô è la regola della catena per un processo stocastico. Un incremento browniano è dell'ordine di √dt, quindi il suo quadrato contribuisce all'ordine dt. La derivata seconda che sopravvive collega gamma dell'opzione, volatilità ed evoluzione temporale
Le regole della catena ordinarie perdono la variazione stocastica
Per un percorso deterministico liscio x(t), la variazione di f(t, x) è descritta localmente dalla sua derivata rispetto al tempo e dalla prima derivata rispetto a x
Un percorso di diffusione è continuo ma non derivabile in modo liscio nel senso ordinario. Il suo incremento casuale su un breve intervallo scala come la radice quadrata del tempo
Questa scala rende un termine di Taylor di secondo ordine grande quanto un termine temporale ordinario. Ometterlo elimina l'effetto che nella valutazione delle opzioni appare poi come gamma
La variazione quadratica conserva il termine di secondo ordine
Scrivi un incremento browniano come dW. Nella contabilità di Itô, dW² contribuisce a dt, mentre dt² e dt·dW svaniscono all'ordine rilevante
Questa è una forma abbreviata per un limite relativo ai percorsi: la somma dei quadrati degli incrementi browniani converge al tempo trascorso quando una partizione diventa più fine
Non è algebra ordinaria che afferma che ogni shock casuale al quadrato sia uguale al tempo. La regola appartiene all'integrazione stocastica e alla sua convenzione di limite
Il lemma espande una funzione di una diffusione
Supponiamo dS = μSdt + σSdW e che il valore di un'opzione sia V(t, S). Il lemma di Itô fornisce la sua variazione stocastica locale
Il termine di deriva è Vₜ + μS Vₛ + one-half σ²S²Vₛₛ. Il termine casuale è σS VₛdW, dove i pedici indicano derivate parziali
La delta Vₛ moltiplica lo shock di primo ordine, mentre la gamma Vₛₛ entra nella deriva di ordine temporale attraverso la variazione quadratica
La gamma trasforma la volatilità in una variazione locale attesa
Anche quando lo shock casuale del prezzo ha media condizionata nulla, la convessità fa sì che movimenti positivi e negativi influenzino il valore dell'opzione in modo asimmetrico
Il termine one-half σ²S²Gamma misura questo contributo locale della curvatura. Una volatilità più alta aumenta la velocità con cui un payoff curvo accumula valore modellato
Questo non significa che una gamma long produca un profitto garantito. Theta, premio pagato, percorsi realizzati, salti, variazioni dello skew e costi determinano il P&L effettivo
La copertura delta elimina il termine casuale modellato
Combina un'opzione con meno la sua delta nel sottostante. Secondo le ipotesi di diffusione, i termini dW si cancellano istantaneamente
Il portafoglio locale rimanente è modellato come privo di rischio, quindi l'assenza di arbitraggio richiede che renda al tasso privo di rischio dopo un trattamento coerente di dividendi o carry
Sostituendo questa condizione si elimina μ e si produce l'equazione alle derivate parziali di Black–Scholes. È la replica, non una previsione di rendimento, a stabilire la relazione di prezzo
La formula guida anche modelli più ampi
Con diverse diffusioni correlate, l'espansione include derivate seconde incrociate ponderate per la covarianza. Questi termini collegano la correlazione alla curvatura congiunta
Cambiare il processo dello stato cambia il generatore e l'equazione di valutazione. Volatilità locale, volatilità stocastica e modelli dei tassi usano tutti espansioni di Itô correlate
Per funzioni non abbastanza lisce, bordi e punti angolosi richiedono un trattamento debole, generalizzato o numerico invece di una differenziazione disinvolta
I salti e la copertura reale richiedono termini aggiuntivi
Un processo con salti non rientra da solo nella regola browniana continua. La sua formula di variazione include contributi discontinui dei salti e spesso conduce a un'equazione integro-differenziale
Le coperture reali sono discrete e costose, quindi cancellare un termine dW infinitesimo non elimina il rischio di gap, liquidità, parametri o esecuzione
Usa il lemma di Itô per comprendere la meccanica del modello, poi dichiara processo, regolarità, misura e ipotesi di trading prima di interpretare un prezzo o un Greek
Domande frequenti
Perché il lemma di Itô ha un termine aggiuntivo?
Gli incrementi browniani scalano come √dt, quindi il loro quadrato è dell'ordine dt e il termine di Taylor di secondo ordine non scompare
Che cosa significa dW² = dt?
Riassume la variazione quadratica nel limite stocastico; non è un'uguaglianza puntuale ordinaria tra un numero casuale e il tempo
Come conduce il lemma di Itô a Black–Scholes?
Espande la variazione locale dell'opzione, dopodiché una copertura delta cancella lo shock di diffusione e l'assenza di arbitraggio determina il rendimento rimanente
Il lemma di Itô si applica ai salti di prezzo?
La versione continua non è sufficiente. I modelli con salti richiedono una formula di variazione estesa con termini discontinui espliciti