Teorema di Girsanov nella valutazione delle opzioni: spiegazione
Scopri come il teorema di Girsanov cambia il drift browniano tra misure di probabilità, perché la volatilità resta fissa e come emergono le dinamiche risk-neutral
Risposta diretta
Il teorema di Girsanov mostra come un cambio di misura assolutamente continuo sposti il drift di un processo browniano preservandone la diffusione. Sotto le condizioni dichiarate, trasforma le dinamiche fisiche in dinamiche di pricing
Le dinamiche fisiche contengono un drift di rendimento atteso
Sotto una misura fisica P, un titolo può seguire dS/S = μdt + σdWᴾ, dove μ rappresenta il rendimento atteso modellato
Quel drift è rilevante per previsioni e scelta del portafoglio, ma in un modello di diffusione completo il valore di un'opzione in assenza di arbitraggio non dovrebbe dipendere da una stima arbitraria di μ
Passare dalle probabilità fisiche alle probabilità di pricing richiede più che sostituire un simbolo con un altro. Richiede una trasformazione di misura valida
Un processo di densità ripesa interi percorsi
La derivata di Radon–Nikodym definisce come la nuova misura pesa gli eventi rispetto alla vecchia fino a ogni momento
Nei modelli browniani, questa densità viene comunemente scritta come un'esponenziale stocastica costruita a partire da un processo spesso indicato con λ
La densità deve restare positiva e avere aspettativa uno. Altrimenti l'espressione proposta potrebbe non definire una misura di probabilità equivalente
Il moto browniano acquisisce un drift compensativo
Con una densità valida, Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt diventa un moto browniano sotto la nuova misura Q, usando una comune convenzione sul segno
Sostituendo dWᴾ = dWᵠ − λdt si sposta il drift di ogni processo esposto a quello shock browniano
Il coefficiente di volatilità che moltiplica dW non scompare. I cambi di misura equivalenti per diffusione alterano il drift, non la struttura di covarianza istantanea
Il drift risk-neutral segue finanziamento e carry
Per un titolo senza dividendi, scegli λ in modo che il drift Q diventi il tasso a breve r. Con rendimento da dividendo q, il drift ex-dividendo è comunemente r − q
Quindi l'attività total-return scontata è una martingala Q e un payoff replicabile può essere valutato come aspettativa Q scontata
Il risultato non dice che il titolo guadagni effettivamente r nel mondo reale. Stabilisce come appare il suo drift sotto la misura di pricing selezionata
Lambda rappresenta un prezzo del rischio browniano
Nel caso semplice a coefficienti costanti, λ = (μ − r) / σ secondo la convenzione sul segno dichiarata e senza dividendi
Con più fonti di rischio, un vettore di prezzi del rischio sposta il drift attraverso la matrice dei carichi di volatilità. Non ogni drift desiderato può essere raggiunto se le esposizioni non hanno rango sufficiente
Nei mercati incompleti, componenti del prezzo del rischio possono restare indeterminate dagli strumenti negoziati, producendo più di una misura di martingala ammissibile
Il teorema richiede condizioni di integrabilità
Novikov, Kazamaki o condizioni collegate vengono comunemente usate per garantire che l'esponenziale stocastica sia una vera martingala e non solo una martingala locale
L'equivalenza preserva anche gli eventi di probabilità zero. Una trasformazione non può rendere possibile un percorso veramente impossibile pur restando equivalente
Coefficienti esplosivi, martingale locali strette, orizzonti infiniti o regolarità debole possono invalidare un'applicazione superficiale della formula
Salti e implementazione richiedono un cambio più ampio
Per processi con salti, il cambio di misura può modificare intensità dei salti e distribuzione delle loro dimensioni oltre al drift continuo
I modelli di pricing calibrati specificano direttamente i parametri risk-neutral, ma collegarli a stime fisiche richiede comunque un modello del premio per il rischio
Dichiara misura originale, misura obiettivo, densità, convenzione del segno, numeraire, orizzonte e condizioni prima di interpretare le dinamiche trasformate
Domande frequenti
Cosa fa il teorema di Girsanov in finanza?
Fornisce condizioni per cambiare misura di probabilità in modo che cambi il drift browniano e i prezzi scontati degli strumenti negoziabili possano diventare martingale
Il teorema di Girsanov cambia la volatilità?
Per un cambio equivalente di diffusione browniana, sposta il drift preservando coefficiente di diffusione istantaneo e covarianza
Che cos'è il prezzo di mercato del rischio?
È il processo usato nella densità per tradurre l'esposizione al rischio in un aggiustamento del drift tra misura fisica e misura di pricing
Il teorema di Girsanov può essere usato con i salti?
Sì, attraverso risultati più ampi sui semimartingale, ma anche intensità dei salti e legge delle dimensioni dei salti possono cambiare e devono essere specificate