Numeraire e cambio di misura spiegati
Comprendi come la scelta di un numeraire cambia la misura di probabilità, quali prezzi relativi diventano martingale e perché le misure forward semplificano il pricing
Risposta diretta
Un numeraire è un asset negoziabile strettamente positivo usato come unità di valore. Dividere ogni prezzo per quell'asset e passare alla misura associata rende martingale i prezzi relativi idonei, semplificando spesso il payoff di un derivato
I prezzi sono sempre espressi in un'unità
Un prezzo in dollari usa la valuta come unità visibile, mentre i modelli di pricing degli asset usano spesso un conto del mercato monetario come numeraire dinamico
Se Nₜ è il numeraire scelto, il prezzo relativo dell'asset X è Xₜ/Nₜ. È la quantità di numeraire necessaria per acquistare X
Cambiare l'unità non crea valore. Riorganizza gli stessi payoff economici e modifica l'aspettativa condizionata più conveniente
Un numeraire valido deve restare strettamente positivo
Il numeraire deve essere negoziabile e strettamente positivo sull'orizzonte rilevante, così la divisione è definita e la densità della misura resta valida
Un asset che può raggiungere zero non può in generale fungere da numeraire globale senza localizzazione o uno spazio degli stati più ristretto
Finanziamento, collateral, dividendi e reinvestimento devono essere incorporati in modo coerente quando si definisce il valore total return del numeraire
Ogni numeraire ha una misura associata
Partendo dal numeraire del mercato monetario B e dalla misura risk-neutral Qᴮ, un altro numeraire N definisce una nuova misura Qᴺ attraverso una densità basata su N/B
Sotto Qᴺ, ogni prezzo negoziabile ammissibile diviso per N è una martingala. Sotto Qᴮ, hanno invece questa proprietà i prezzi divisi per B
Non esiste un'affermazione indipendente dalla misura secondo cui il prezzo grezzo di un asset sia una martingala. Numeraire e misura viaggiano insieme
L'identità di valutazione preserva il prezzo originale
Un payoff H a T può essere valutato come Nₜ moltiplicato per l'aspettativa condizionata Qᴺ di H/N_T
Usare un numeraire diverso modifica sia le unità del payoff sia i pesi di probabilità, così il valore in valuta resta uguale quando le ipotesi sono coerenti
Questa identità è una trasformazione di pricing, non una previsione secondo cui le probabilità degli eventi di una misura siano fisicamente più probabili
Un'obbligazione zero coupon crea la misura forward
Scegli un'obbligazione zero coupon P(t,T) con scadenza T come numeraire. Sotto la misura forward T, i prezzi forward idonei alla consegna T diventano martingale
Questo può eliminare lo sconto stocastico da un payoff pagato a T e semplificare cap, swaption, opzioni su obbligazioni e altre claim sui tassi d'interesse
La scadenza deve coincidere con la data del payoff oppure i flussi di cassa devono essere scomposti con attenzione. Una sola misura forward non semplifica tutte le date contemporaneamente
Una scelta intelligente può ridurre algebra e varianza della simulazione
Scegli un numeraire simile a un fattore positivo nel payoff. Dividerlo può trasformare un prodotto in un indicatore più semplice o in un'opzione di scambio
In Monte Carlo, il payoff trasformato può avere varianza inferiore o evitare di simulare un fattore di sconto separato, anche se il miglioramento non è automatico
La comodità numerica non può correggere un modello incoerente. La misura trasformata richiede comunque dinamiche corrette di drift, covarianza e densità
Dividendi e valuta estera chiariscono l'economia
Per un'azione, il numeraire negoziabile deve includere i dividendi reinvestiti anziché solo il prezzo ex-dividendo quotato
Nel cambio valutario, i conti del mercato monetario domestico ed estero generano naturalmente misure risk-neutral domestiche ed estere
Le claim quanto e cross-currency rivelano gli aggiustamenti del drift creati dalle correlazioni tra tassi di cambio, asset, tassi e numeraire scelto
La verifica dovrebbe recuperare lo stesso valore in valuta
Valuta un benchmark sotto due numeraire e conferma l'accordo entro l'errore analitico o numerico dopo aver riconvertito le unità
Controlla la normalizzazione della densità, i test di martingala per gli asset relativi, l'allineamento alla data del payoff, le convenzioni total return e gli aggiustamenti del drift simulato
Documenta numeraire, misura associata, derivata di Radon–Nikodym, valuta di regolamento e tutte le date dei flussi di cassa in modo che il risultato sia riproducibile
Domande frequenti
Cos'è un numeraire nella finanza?
È un asset negoziabile strettamente positivo usato come unità in cui esprimere prezzi e payoff degli altri asset
Perché cambiare numeraire cambia la misura di probabilità?
La misura viene ripesata affinché siano martingale i prezzi relativi al nuovo numeraire, anziché a quello precedente
Cos'è una misura forward?
È la misura associata al numeraire costituito da un'obbligazione zero coupon per una scadenza scelta, che rende martingale i prezzi forward idonei
La scelta del numeraire cambia il valore di un'opzione?
Non quando modello e conversione sono coerenti. Cambia la rappresentazione usata per calcolare lo stesso valore