Le martingale nel pricing delle opzioni: spiegazione
Comprendi l'aspettativa condizionata, perché i prezzi scontati degli strumenti negoziabili diventano martingale sotto una misura di pricing e cosa non implica il concetto
Risposta diretta
Una martingala ha un valore futuro atteso condizionato uguale al valore corrente sotto informazioni e misura specificate. Nel pricing delle opzioni, i prezzi correttamente scontati degli strumenti negoziabili hanno questa proprietà sotto una misura risk-neutral
L'aspettativa condizionata è la definizione centrale
Sia Mₜ un processo e Fₜ l'informazione disponibile al tempo t. Una martingala soddisfa E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ per ogni tempo successivo u, con condizioni di integrabilità
Il condizionamento è essenziale. La previsione usa tutto ciò che è già noto, non solo una media di lungo periodo non condizionata
La definizione nomina sempre una misura di probabilità e una filtrazione informativa. Un processo può essere una martingala sotto una misura ma non sotto un'altra
Una martingala può muoversi e restare rischiosa
Gioco equo non significa che il valore successivo sia uguale a quello corrente. Significa che le variazioni condizionate positive e negative si bilanciano in aspettativa
Grandi salti, distribuzioni ampie e incertezza dipendente dal percorso sono compatibili con la proprietà di martingala se le aspettative richieste esistono
Martingala non significa nemmeno incrementi indipendenti. La dipendenza può restare finché vale la restrizione sulla media condizionata
Lo sconto elimina la crescita del finanziamento
Un'attività negoziabile ha normalmente carry, dividendi o effetti di finanziamento, quindi il suo prezzo non scontato non deve essere una martingala sotto una misura di pricing
Dividi il valore del rendimento totale per il numerario scelto, come un conto del mercato monetario. Sotto ipotesi adeguate di assenza di arbitraggio, il processo scontato diventa una martingala
Cambiare numerario cambia la misura associata e quali prezzi relativi sono martingale. L'unità di conto fa parte dell'enunciato
Il valore dell'opzione diventa un'aspettativa condizionata
Per un payoff replicabile H al tempo T, il suo valore scontato oggi è uguale all'aspettativa condizionata, sotto la misura di pricing, del payoff scontato
Questa non è una media calcolata sulle frequenze storiche. La misura viene scelta per mantenere i prezzi scontati degli strumenti negoziabili coerenti con l'assenza di arbitraggio
La formula condensa un argomento dinamico di replica. Non elimina le ipotesi su trading, stati del modello, dividendi o finanziamento
L'albero binomiale mostra direttamente il meccanismo
Scegli i pesi di pricing al rialzo e al ribasso in modo che il valore atteso successivo del sottostante scontato sia uguale al suo valore scontato corrente
Applica gli stessi pesi ai valori dell'opzione nei nodi successivi e sconta a ritroso. Ripetere il passaggio porta al prezzo della radice
La probabilità risk-neutral dell'albero è quindi un peso di martingala. Non afferma che il titolo reale abbia un rendimento in eccesso atteso nullo
Submartingale e supermartingale codificano disuguaglianze
Una submartingala ha un valore futuro atteso condizionato almeno grande quanto quello presente; una supermartingala lo ha al massimo grande quanto quello presente
Questi concetti compaiono con vincoli, consumo, esercizio americano e superhedging, quando l'uguaglianza esatta può essere sostituita da un limite unilaterale
Il prefisso da solo non prevede un profitto negoziabile. Misura, sconto, ammissibilità e integrabilità continuano a controllare l'interpretazione
L'arresto opzionale richiede condizioni
È allettante pensare che qualunque regola per fermare un gioco equo preservi la sua aspettativa. I teoremi dell'arresto opzionale richiedono limitatezza, integrabilità o condizioni correlate
Le strategie di raddoppio possono violare l'ammissibilità o richiedere capitale illimitato. Non creano un arbitraggio pratico a partire dalla definizione di martingala
I problemi di arresto delle opzioni americane usano tempi di esercizio e processi di valore definiti con cura, non una promessa illimitata che il timing non possa contare
Modello e mercato non sono lo stesso oggetto
I prezzi osservati includono spread, quotazioni residue, vincoli e trading discreto. Una martingala di modello è un enunciato dentro idealizzazioni specificate
Martingale locali strette, bolle, claim non limitati e problemi di esistenza della misura mostrano perché non si possano sempre saltare le condizioni tecniche
Prima di applicare una formula di martingala, specifica il processo, la misura, il numerario, la filtrazione, l'integrabilità del payoff e le strategie di trading disponibili
Domande frequenti
Che cos'è una martingala in termini semplici?
Date le informazioni correnti, il suo valore futuro atteso è uguale al valore corrente sotto la misura di probabilità indicata
Il prezzo di una martingala resta costante?
No. Il suo percorso realizzato può muoversi bruscamente; solo la media condizionata del valore futuro è soggetta a una restrizione
Perché i prezzi dei titoli vengono scontati nel pricing a martingala?
Lo sconto tramite il numerario elimina la crescita del finanziamento modellata, così i valori relativi negoziabili possono soddisfare la condizione di martingala
Il prezzo reale di un titolo è una martingala?
Non come enunciato indipendente dalla misura. Devono essere specificati il processo rilevante, i dividendi, il numerario, le informazioni e la misura di probabilità