Metodo COS per il pricing delle opzioni: spiegazione
Scopri come il metodo COS combina una densità troncata, coefficienti di coseno di Fourier, coefficienti del payoff e controlli di convergenza per prezzare le opzioni
Risposta diretta
Il metodo COS tronca una distribuzione del log-prezzo a un intervallo finito, espande la sua densità in una serie di coseni e ottiene i coefficienti dalla funzione caratteristica. I coefficienti del payoff trasformano poi l'espansione in un prezzo d'opzione
COS è un metodo di pricing basato su serie di Fourier
Supponi che uno stato logaritmico terminale X abbia una funzione caratteristica nota e che un'opzione paghi v(X) alla scadenza
Dopo l'attualizzazione sotto la misura di pricing corrispondente, il valore desiderato è l'integrale di v(x) rispetto alla densità condizionale di X
COS approssima quell'integrale con una serie finita di coseni invece di simulare percorsi o risolvere all'indietro una griglia di prezzi nel tempo
Prima si tronca l'intervallo infinito degli stati
Poiché i log-prezzi vivono di solito sulla retta reale, il metodo seleziona un intervallo finito [a,b] che contiene la maggior parte della massa di probabilità economicamente rilevante
La probabilità fuori da [a,b] crea errore di troncamento del dominio prima che vengano omessi termini di coseno
Un intervallo troppo stretto perde le code; uno inutilmente ampio richiede più termini per risolvere le stesse caratteristiche locali
Le funzioni caratteristiche forniscono i coefficienti della densità
Su [a,b], la densità viene espansa in cos(kπ(x−a)/(b−a)) per k intero non negativo
I suoi coefficienti di coseno sono approssimati da Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, evitando di ricostruire esplicitamente l'intera densità
Il termine a frequenza zero riceve peso metà nella consueta somma con apice primo, una piccola convenzione che incide materialmente sul livello del prezzo
I coefficienti del payoff completano la formula del prezzo
Ogni coefficiente della densità viene moltiplicato per l'integrale corrispondente di v(x) rispetto alla base di coseni su [a,b]
Per call e put europei questi coefficienti del payoff hanno forme analitiche; altri payoff possono richiedere un'integrazione numerica stabile
Una volta separati coefficienti del modello e del payoff, molti strike o contratti possono riutilizzare gran parte dello stesso lavoro sulla trasformata
La convergenza rapida è condizionata
Densità lisce con coefficienti di coseno che decadono rapidamente possono offrire una convergenza molto rapida, spesso esponenziale, all'aumentare del numero di termini N
Scadenze brevi, densità acute, atomi, code pesanti o payoff discontinui possono rallentare la convergenza e produrre oscillazioni vicino a punti non lisci
Perciò la reputazione di velocità del metodo è un risultato dipendente dalla regolarità, non una garanzia fissa di accuratezza per ogni modello e payoff
La scelta dell'intervallo fa parte del budget d'errore
Un'euristica comune usa cumulanti, come c₁±L√(c₂+√c₄), quando questi cumulanti esistono e la convenzione è applicabile
La scala L non è universale, e cumulanti superiori inaffidabili o inesistenti possono rendere fuorviante una regola d'intervallo familiare
Limiti sulla probabilità di coda, intervalli di riferimento più ampi e stabilità tra scelte di [a,b] forniscono evidenza più forte di una sola impostazione euristica
La verifica separa errore d'intervallo ed errore di serie
Aumenta [a,b] mantenendo N sufficientemente grande per diagnosticare il troncamento del dominio, poi aumenta N su un intervallo stabile per testare la convergenza della serie
Controlla funzione caratteristica in zero, convenzione del peso metà, attualizzazione, coefficienti del payoff, parità, limiti, monotonicità e convessità
Confronta prezzi selezionati con quadratura diretta di Fourier o un altro metodo indipendente prima di usare COS nei cicli di calibrazione
Domande frequenti
Che cos'è il metodo COS?
È un metodo di pricing delle opzioni che approssima una densità terminale con una serie di coseni di Fourier i cui coefficienti derivano dalla funzione caratteristica
COS è uguale al pricing FFT?
No. Entrambi usano trasformate, ma COS valuta un'espansione di coseni su un intervallo di stati scelto invece di richiedere la stessa griglia di strike collegata della FFT
Come si sceglie l'intervallo [a,b]?
Le euristiche basate sui cumulanti sono comuni, ma l'intervallo va validato con informazioni sulle code e stabilità dei prezzi perché nessuna ampiezza è universale
Perché il pricing COS può essere impreciso?
Un intervallo stretto, pochi termini, scarsa regolarità della densità, discontinuità del payoff, errori nei coefficienti o input non validi della trasformata possono causare errori