Massima verosimiglianza e inferenza bayesiana nella finanza
Confronta la massimizzazione della verosimiglianza con l'aggiornamento della distribuzione a posteriori, inclusi prior, MAP, incertezza, regolarizzazione, previsione, errata specificazione del modello e sensibilità ai regimi finanziari
Risposta diretta
La massima verosimiglianza sceglie i valori dei parametri che rendono i dati osservati più probabili sotto un modello specificato. L'inferenza bayesiana combina la stessa verosimiglianza con un prior per ottenere una distribuzione a posteriori sui parametri e sulle previsioni. Nessun metodo corregge una verosimiglianza errata, un regime instabile, un bias di selezione o dati scadenti
Entrambi i metodi iniziano da un modello probabilistico
Per i dati y e il parametro θ, la verosimiglianza L(θ;y)=p(y|θ) considera la densità campionaria come una funzione di θ con y fissato
Non è la probabilità che θ sia vero e moltiplicarla per una costante indipendente da θ non cambia i confronti di verosimiglianza
Il processo di osservazione, la dipendenza, la censura, i costi di transazione e il meccanismo dei dati mancanti appartengono al modello prima che inizi la stima
La massima verosimiglianza seleziona un punto
Lo stimatore MLE θ̂ massimizza L o log L e spesso ha consistenza, normalità asintotica ed efficienza sotto regolarità e corretta specificazione
Curvatura, verosimiglianza profilata, stimatori sandwich o metodi bootstrap possono quantificare l'incertezza attorno alla stima puntuale
Parametri al bordo, identificazione debole, multimodalità, campioni piccoli e code pesanti possono rendere inaffidabili gli errori asintotici standard
L'inferenza bayesiana aggiorna una distribuzione
La regola di Bayes dà p(θ|y)∝p(y|θ)p(θ), combinando la verosimiglianza con un prior che deve essere proprio o altrimenti giustificato matematicamente
I riassunti a posteriori possono includere medie, mediane, intervalli credibili, probabilità di coda e l'intera distribuzione delle quantità di rischio derivate
La distribuzione a posteriori è condizionata al modello e al prior; non è la prova incondizionata che sia stato trovato il processo generatore dei dati
La MAP non è l'intera risposta bayesiana
La stima a massima a posteriori massimizza log-verosimiglianza più log-prior e può assomigliare a un'ottimizzazione penalizzata
La MAP cambia sotto una riparametrizzazione non lineare perché la moda di una densità dipende dalle coordinate, mentre le probabilità a posteriori si trasformano coerentemente
Ridurre l'inferenza bayesiana a un unico punto MAP scarta l'incertezza sui parametri e può farla sembrare più simile alla MLE di quanto sia
Prior e penalizzazioni codificano ipotesi
Prior debolmente informativi possono regolarizzare parametri instabili, imporre scale plausibili e impedire regioni impossibili
La penalizzazione frequentista può fornire una contrazione numerica simile senza interpretare la penalizzazione come una distribuzione di probabilità
La sensibilità alle famiglie di prior, agli iperparametri, ai vincoli e alla parametrizzazione dovrebbe essere riportata invece di essere nascosta dietro un valore predefinito
La finanza amplifica il rischio di modello e di regime
Storie brevi, crisi rare, volatilità latente, non stazionarietà e microstruttura di mercato mutevole rendono scarsa l'informazione asintotica
Una distribuzione a posteriori può diventare ristretta ma errata se una verosimiglianza rigida tratta una rottura strutturale come molte osservazioni di conferma
Stima rolling, pooling gerarchico, dinamiche state-space, verosimiglianze robuste e modelli espliciti di rottura affrontano problemi e ipotesi diversi
La previsione è il confronto più equo
Valuta le distribuzioni predittive su periodi futuri realmente messi da parte usando log score, calibrazione, copertura, perdite di coda e utilità decisionale
Per i modelli bayesiani, verifica il comportamento predittivo a priori e a posteriori, la diagnostica della convergenza, la dimensione campionaria effettiva e la sensibilità
Per ogni metodo, confronta verosimiglianze e regimi alternativi perché la convergenza computazionale non è una validazione statistica
Domande frequenti
Cos'è la stima di massima verosimiglianza?
Seleziona i valori dei parametri sotto i quali il modello specificato assegna ai dati osservati la verosimiglianza maggiore
Cosa aggiunge l'inferenza bayesiana?
Combina una verosimiglianza con un prior e restituisce una distribuzione a posteriori per parametri, previsioni e quantità derivate
La stima MAP è uguale alla MLE?
Solo con un prior piatto nella parametrizzazione scelta; in generale la MAP include il prior ed è dipendente dalle coordinate
L'inferenza bayesiana è sempre migliore con pochi dati?
No. I prior possono stabilizzare dati deboli, ma un prior inadeguato o una verosimiglianza errata possono anche produrre errori sicuri di sé