Il principio di massima entropia nella finanza
Comprendi la massimizzazione dell'entropia sotto vincoli sui momenti e sui prezzi delle opzioni, la sua duale nella famiglia esponenziale, il ruolo di una misura di riferimento e i controlli necessari per una distribuzione implicita
Risposta diretta
Il principio di massima entropia sceglie la distribuzione di probabilità con l'entropia maggiore tra quelle che soddisfano i vincoli dichiarati. In finanza può inferire una legge risk-neutral regolare a partire da momenti o prezzi delle opzioni, ma «meno informativa» ha senso solo rispetto al supporto, alle variabili, alla misura di riferimento e ai vincoli scelti
L'entropia ordina le distribuzioni ammissibili
Per probabilità discrete p_i, l'entropia di Shannon è H(p)=−Σ_i p_i log p_i
La massima entropia massimizza H soggetta a p_i≥0, Σ_i p_i=1 e a vincoli come Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j
Il risultato non aggiunge struttura stimata oltre a quella imposta dal supporto, dalla rappresentazione di base e dai vincoli dichiarati
La soluzione spesso ha forma esponenziale
Con una misura di riferimento m e vincoli lineari sulle aspettative, la soluzione ha comunemente la forma p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)]
Il log-normalizzatore ψ rende la probabilità totale uguale a una, mentre il suo gradiente fa coincidere le aspettative del modello con i vincoli
La hessiana di ψ è una matrice di covarianza, che collega la curvatura duale all'identificabilità e al condizionamento numerico
L'entropia continua ha bisogno di un riferimento
L'entropia differenziale cambia sotto un cambio di coordinate non lineare e non è una quantità invariabile di informazione mancante
Minimizzare l'entropia relativa KL(p||m) rispetto a un prior o a una misura di base esplicita rende visibile questa dipendenza
Cambiare la variabile di stato, il supporto, la griglia o la misura di riferimento m può cambiare la risposta anche quando i vincoli principali sembrano identici
I prezzi delle opzioni diventano vincoli lineari
I prezzi scontati delle opzioni europee sono aspettative risk-neutral delle funzioni di payoff e possono vincolare una distribuzione terminale
Normalizzazione e condizione di martingala del forward devono accompagnare i vincoli sugli strike, lo sconto, i dividendi e le convenzioni del contratto
Buchen–Kelly usano la massima entropia per inferire una distribuzione dell'attività dai prezzi delle opzioni; la cross-entropia minima può incorporare una legge prior
La fattibilità viene prima dell'ottimizzazione
Mid rumorosi possono violare i limiti di prezzo, la monotonia degli strike o la convessità, lasciando nessuna distribuzione non negativa che corrisponda esattamente a ogni quotazione
Intervalli bid–ask, fitting pesato o variabili slack possono ripristinare la fattibilità, ma ogni scelta modifica l'informazione imposta alla soluzione
Vincoli vicini al bordo dell'insieme ammissibile possono concentrare la massa, spingere verso l'esterno i moltiplicatori duali e rendere mal condizionata l'ottimizzazione
La regolarità non è prova di verità
La massima entropia seleziona una distribuzione da un insieme sottodeterminato; non dimostra che il mercato segua quella distribuzione
Strike radi lasciano debolmente identificata la forma delle code e l'entropia può distribuire la massa secondo la misura di base invece che secondo evidenze economiche
Aggiungere molti vincoli rumorosi può fare overfitting delle quotazioni, mentre troppo pochi possono nascondere la struttura dello smile e sottostimare l'incertezza tra gli strike
La validazione ricalcola i prezzi e perturba la soluzione
Verifica positività, normalizzazione, media forward, ogni condizione bid–ask adattata e le proprietà di arbitraggio statico su una griglia densa di strike
Perturba quotazioni, griglie, estremi del supporto, prior, pesi dei vincoli e tolleranze del solver per rivelare conclusioni instabili sulle code
Confronta i prezzi delle opzioni out-of-sample e riporta la scelta dell'entropia, i residui duali, i vincoli attivi e l'incertezza invece di una sola densità implicita
Domande frequenti
Che cos'è il principio di massima entropia?
Seleziona la legge di probabilità più entropica tra tutte quelle che soddisfano i vincoli specificati di normalizzazione e sulle aspettative
La massima entropia trova la distribuzione vera?
No. Sceglie una distribuzione con il minimo impegno relativo al supporto, alla misura di riferimento, alle variabili e ai vincoli dichiarati
Come vincolano la distribuzione i prezzi delle opzioni?
Ogni prezzo europeo fornisce un'aspettativa scontata del payoff sotto la legge terminale risk-neutral
Perché usare l'entropia relativa invece dell'entropia differenziale?
L'entropia relativa rende esplicita la misura prior o di base, mentre l'entropia differenziale cambia sotto trasformazioni delle coordinate