Martingale locali e martingale locali strette: spiegazione
Comprendi localizzazione, perdita di aspettativa, martingale locali strette positive, modelli a bolla, cambi di misura e diagnostica del pricing delle opzioni
Risposta diretta
Una martingala locale diventa una martingala dopo l'arresto prima delle regioni rischiose. Una martingala locale stretta non è una vera martingala a livello globale: in assenza di deriva locale, l'integrabilità può fallire e un processo non negativo può perdere aspettativa
La localizzazione controlla i percorsi difficili
Un processo adattato M è una martingala locale se i tempi di arresto τ_n crescono quasi sicuramente fino a infinito e ogni processo arrestato M_{t∧τ_n} è una martingala
Gli arresti possono limitare escursioni o integrali affinché le aspettative condizionate siano ben comportate in ogni regione localizzata
La localizzazione è uno strumento di dimostrazione relativo a regioni sicure in espansione; non significa che il processo sia approssimativamente una martingala solo per brevi orizzonti di calendario
Una vera martingala richiede integrabilità globale
Ogni vera martingala è locale, perché si possono usare tempi di arresto banali o limitanti secondo la definizione pertinente
Il converso richiede condizioni come l'integrabilità uniforme o una dominazione adeguata che permettano ai limiti di passare attraverso le aspettative condizionate
Senza questo controllo, la massa può sfuggire attraverso percorsi sempre più rari ed estremi mentre le barriere di localizzazione arretrano
La positività dà una supermartingala, non un'uguaglianza
Una martingala locale non negativa è una supermartingala per argomenti di tipo Fatou, quindi E[M_t] ≤ E[M_s] per s ≤ t
È una vera martingala quando l'aspettativa viene preservata con un'integrabilità adeguata; una martingala locale stretta ha un'effettiva perdita di aspettativa
Una deriva locale nulla quindi non implica da sola un'aspettativa incondizionata costante
Le esponenziali stocastiche richiedono un test di martingala
Le esponenziali stocastiche sono martingale locali positive e candidate naturali a processi di densità nei cambi di misura
Condizioni come Novikov o Kazamaki possono stabilire la proprietà di vera martingala, ma sono test sufficienti e non definizioni intercambiabili
Se la densità candidata è stretta, la sua aspettativa terminale è inferiore a uno e non può definire la misura di probabilità equivalente desiderata senza ulteriori trattamenti
La proprietà stretta può rappresentare una bolla nel modello
Secondo alcune definizioni di asset pricing, una martingala locale stretta non negativa e scontata ha un prezzo di mercato superiore a un'aspettativa fondamentale più piccola
L'aspettativa mancante, spesso chiamata difetto di martingala, quantifica questa differenza dipendente dal modello
Si tratta di un'affermazione interna a una misura, filtrazione, classe di ammissibilità e regola di pricing specificate, non di una prova automatica che un asset negoziato sia valutato male empiricamente
Le identità note delle opzioni possono richiedere correzioni
La parità put–call standard e la monotonicità del prezzo della call rispetto alla scadenza usano spesso la proprietà di vera martingala del sottostante scontato
Con martingale locali strette, la parità può acquisire un termine di difetto e valori della call apparentemente naturali possono dipendere dalle convenzioni su collateral o ammissibilità
Deriva sempre le identità dall'aspettativa del modello e dalle ipotesi di negoziazione invece di importare senza modifiche formule di assenza di arbitraggio
Diagnostica il modello prima di usare i prezzi
Verifica analiticamente o numericamente la conservazione dell'aspettativa, il comportamento ai bordi, l'esplosione, l'integrabilità uniforme e la validità di ogni processo di densità
Monte Carlo può non vedere i percorsi rari responsabili della perdita di aspettativa, quindi una media campionaria stabile è una prova debole della proprietà di martingala
Usa condizioni al bordo delle PDE, asintotiche, criteri di proprietà stretta, studi di troncamento e stime del difetto di martingala insieme alla simulazione
Domande frequenti
Qual è la differenza tra una martingala e una martingala locale?
Una martingala soddisfa integrabilità globale e uguaglianza dell'aspettativa condizionata; una martingala locale le soddisfa solo dopo un arresto adeguato
Che cosa rende stretta una martingala locale?
È stretta quando è locale ma non una vera martingala, cosa che si rivela comunemente con integrabilità fallita o aspettativa decrescente per un processo non negativo
Una martingala locale positiva può aumentare l'aspettativa?
No. Una martingala locale non negativa è una supermartingala, quindi la sua aspettativa non può aumentare, anche se può restare costante
Perché le martingale locali strette contano per le opzioni?
Possono introdurre un difetto di martingala, modificare le familiari relazioni di parità e rendere i prezzi sensibili alle convenzioni su bordi e ammissibilità