Volatilità locale e volatilità implicita: quotazione, superficie e modello
Comprendi come la volatilità implicita osservata differisce da una funzione di stato di volatilità locale, come la calibrazione di Dupire le collega e perché la distinzione conta
Risposta diretta
La volatilità implicita è l'input costante del modello che riproduce il prezzo di un'opzione. La volatilità locale è il tasso istantaneo di un modello per ogni tempo e livello del sottostante, dedotto da una superficie completa di opzioni
La volatilità implicita è una coordinata della quotazione
Prendi un prezzo osservato dell'opzione e risolvi un modello di pricing scelto per l'input di volatilità che lo riproduce. Il risultato appartiene a quello strike, quella scadenza, quella quotazione, quel forward e quella convenzione
Ripetere l'inversione su strike e scadenze crea una superficie di volatilità implicita. Il suo skew e la sua struttura per scadenza esprimono in forma compatta i prezzi relativi delle opzioni
L'IV non è la volatilità che il sottostante deve seguire in ogni istante. Opzioni diverse sullo stesso sottostante possono avere IV diverse nello stesso momento
La volatilità locale è una funzione di stato
Un modello di volatilità locale assegna una volatilità istantanea σlocal(t, S) in base al tempo e al livello del sottostante raggiunto in quel momento
Nel modello di base non esiste un fattore casuale separato di volatilità. Una volta noti tempo e spot, il coefficiente di diffusione è determinato dalla funzione calibrata
Questo rende la volatilità locale diversa sia dall'IV di un singolo contratto sia dalla volatilità storica realizzata misurata dai rendimenti passati
Dupire collega una superficie di prezzi alla varianza locale
Con opportune regolarità e ipotesi di mercato, l'equazione di Dupire usa le derivate dei prezzi delle call europee rispetto a strike e scadenza per dedurre la varianza locale in ogni stato
In modo equivalente, prima si adatta una superficie implicita liscia e coerente con l'assenza di arbitraggio, la si converte in prezzi delle opzioni o varianza totale e si differenzia la superficie adattata
La volatilità locale è quindi l'output di un modello inverso. Non si legge direttamente da una singola cella della catena di opzioni
La calibrazione non è la verità futura
Un modello di volatilità locale calibrato correttamente può riprodurre i prezzi odierni delle vanilla europee sull'intera superficie adattata, tenendo conto di dati, tassi, dividendi e scelte numeriche
Questa corrispondenza trasversale non dimostra che il modello preveda la dinamica della superficie di domani. Due modelli possono replicare i prezzi vanilla odierni e assegnare valori diversi a payoff dipendenti dal percorso o forward-starting
Il modello crea in genere una particolare relazione tra spot e volatilità futura. I mercati reali possono mostrare volatilità stocastica, salti, rischio di eventi o un movimento dello skew diverso
La differenziazione amplifica i dati imperfetti
Il calcolo di Dupire dipende dalle derivate rispetto a scadenza e strike, inclusa la curvatura. Spread ampi, strike radi, tempi incrociati e interpolazioni rumorose possono creare una varianza locale instabile o negativa
Pulisci le quotazioni, usa coordinate coerenti con il forward, imponi condizioni di assenza di arbitraggio e verifica l'estrapolazione ai bordi. Un grafico IV visivamente liscio non è automaticamente sicuro da differenziare
Piccole variazioni della superficie possono produrre grandi variazioni della volatilità locale dove la densità gamma è sottile. Riporta il dominio di calibrazione e la regolarizzazione invece di una sola griglia non spiegata
Le due superfici rispondono a domande diverse
La superficie implicita risponde a quale volatilità costante rivaluta oggi ogni opzione quotata. La superficie locale risponde a quale diffusione istantanea dipendente dallo stato consente a un modello di riprodurre la superficie dei prezzi
Nessuna delle due è una previsione diretta del mondo reale. Entrambe vengono generalmente interpretate in un quadro di pricing risk-neutral, mentre i percorsi realizzati e il P&L di hedging dipendono dalla dinamica effettiva e dall'esecuzione
Scegli il modello in base al payoff
Per la valutazione delle vanilla può bastare una superficie implicita controllata rispetto all'arbitraggio. Barriere, cliquet, forward start e altri payoff dipendenti dal percorso richiedono ipotesi sul percorso e sulla superficie futura
Confronta modelli locali, a volatilità stocastica, con salti o ibridi rispetto agli hedge pertinenti e al comportamento del mercato. La scelta del modello è una decisione di rischio, non una conversione cosmetica
Sottoponi a stress la dinamica spot-skew e l'incertezza di calibrazione. Se un'operazione funziona solo sotto una superficie locale adattata, questa dipendenza dal modello appartiene al report di rischio
Domande frequenti
La volatilità locale è uguale alla volatilità implicita?
No. L'IV viene invertita per uno strike e una scadenza, mentre la volatilità locale è una funzione di stato istantanea dedotta da un'intera superficie all'interno di un modello
La volatilità locale può riprodurre la superficie di volatilità implicita?
Con le ipotesi del modello e una superficie pulita e coerente con l'assenza di arbitraggio, può essere calibrata per riprodurre i prezzi odierni delle opzioni vanilla europee sull'intera superficie
Perché la calibrazione della volatilità locale è instabile?
Differenzia i prezzi delle opzioni o la varianza totale adattata rispetto a strike e scadenza. La differenziazione amplifica quotazioni sparse, rumore denaro-lettera, errori di interpolazione e ipotesi ai bordi
La volatilità locale è una previsione della volatilità realizzata?
No. È un input di modello risk-neutral coerente con i prezzi correnti. La volatilità realizzata effettiva e la dinamica futura dello smile possono differire materialmente