Il teorema fondamentale della valutazione degli attivi spiegato
Comprendi come assenza di arbitraggio, misure martingala equivalenti e completezza del mercato si collegano nel teorema fondamentale della valutazione degli attivi
Risposta diretta
Il teorema fondamentale della valutazione degli attivi collega l'assenza di arbitraggio a una misura di probabilità equivalente sotto la quale i prezzi negoziabili correttamente attualizzati sono martingale. Una misura di questo tipo unica caratterizza anche un mercato completo
Un arbitraggio è più forte di una buona operazione
Un arbitraggio parte senza investimento netto, non può generare una perdita nel modello e produce un payoff positivo in almeno uno stato rilevante
Un elevato rapporto di Sharpe, un vantaggio statistico o un'opzione che sembra conveniente non sono automaticamente un arbitraggio, perché la perdita resta possibile
Il teorema parte da questa condizione esatta a livello di modello. Cambiare strategie ammissibili, regole di finanziamento o vincoli può modificare l'esistenza di un arbitraggio
I prezzi di stato trasformano i payoff in valori attuali
In un mercato finito a un periodo, assegna a ogni stato futuro un peso non negativo in valore attuale. Ogni payoff replicato viene valutato sommando il prodotto tra payoff e peso dello stato
Se pesi strettamente positivi soddisfano tutti i prezzi negoziati, un portafoglio a costo zero non può produrre un payoff non negativo con un guadagno in qualche stato
Normalizzare quei pesi per il conto del mercato monetario produce probabilità. Questo passaggio converte un funzionale di valutazione in una misura martingala
L'equivalenza preserva gli eventi impossibili
Una misura equivalente assegna probabilità zero esattamente agli stessi eventi della misura fisica. Cambia i pesi relativi senza inventare o eliminare stati possibili
La distinzione è importante perché un payoff positivo solo in uno stato dichiarato impossibile non può sostenere lo stesso argomento di arbitraggio
I nuovi pesi sono strumenti di valutazione, non affermazioni secondo cui gli investitori crederebbero letteralmente alle probabilità riassegnate
L'assenza di arbitraggio corrisponde a una misura martingala
Nei modelli finiti standard, l'assenza di arbitraggio equivale all'esistenza di una misura equivalente che renda martingale i prezzi negoziabili attualizzati
Nei mercati generali a tempo continuo, contano la precisa condizione di assenza di guadagni gratuiti e le ipotesi tecniche. Le versioni informali del teorema possono essere troppo deboli
Il messaggio economico rimane: prezzi coerenti possono essere rappresentati come valori attualizzati condizionati sotto una misura di valutazione adeguata
La completezza riguarda la replica di ogni pretesa
Un mercato è completo quando ogni payoff contingente ammissibile può essere generato negoziando gli attivi disponibili nel modello
La completezza corrisponde all'unicità della misura martingala equivalente nelle impostazioni standard. Una misura fornisce quindi un unico valore privo di arbitraggio per ogni pretesa
Se più misure sono compatibili con gli attivi negoziati, le pretese non replicabili possono avere un intervallo di prezzi privi di arbitraggio, a meno che non venga aggiunta un'ulteriore preferenza, calibrazione o criterio
I modelli binomiale e Black–Scholes illustrano entrambe le parti
Un modello binomiale a un titolo e un'obbligazione ha due stati futuri e di solito può replicare qualsiasi payoff a due stati, quindi la sua probabilità risk-neutral è unica
La diffusione ideale di Black–Scholes usa la negoziazione continua per coprire la sua singola fonte di rischio browniana, producendo il familiare prezzo di replica
Aggiungere volatilità non negoziata, salti, costi di transazione o restrizioni alla negoziazione può far venir meno la completezza esatta anche quando restano utili prezzi di modello
Il teorema non sceglie la distribuzione reale
L'assenza di arbitraggio limita i prezzi relativi; non identifica rendimenti attesi, frequenze degli eventi o quale modello calibrato sia economicamente migliore
Due modelli possono adattarsi ai prezzi correnti ma implicare dinamiche diverse al di fuori degli strike osservati, delle scadenze o delle future regole di ricalibrazione
Usa il teorema per separare coerenza e previsione. Una misura di valutazione valida può ricalcolare il prezzo degli strumenti senza essere una previsione fisica affidabile
Le implementazioni reali richiedono un modello di mercato dichiarato
Specifica attivi negoziati, numerario, informazioni, strategie ammissibili, finanziamento, collateral, costi e quali rischi possono essere effettivamente coperti
Verifica se i prezzi proposti violano vincoli statici e se la replica dichiarata sopravvive a negoziazione discreta, liquidità e incertezza dei parametri
Il teorema è una base per la progettazione del modello, non la prova che un desk possa eseguire una copertura ideale o che ogni quotazione osservata sia priva di arbitraggio
Domande frequenti
Che cosa afferma il teorema fondamentale della valutazione degli attivi?
Nella forma standard, l'assenza di arbitraggio corrisponde a una misura martingala equivalente, mentre la completezza del mercato corrisponde alla sua unicità
Che cos'è una misura martingala equivalente?
Preserva gli eventi a probabilità zero e rende martingale i prezzi degli attivi negoziabili correttamente attualizzati sotto il numerario scelto
L'assenza di arbitraggio implica un unico prezzo dell'opzione?
Solo quando la pretesa è replicabile o il mercato è completo. In un mercato incompleto possono rimanere diversi prezzi coerenti
La misura risk-neutral è una previsione del mondo reale?
No. È una rappresentazione di valutazione che incorpora il modo in cui gli stati vengono valutati, non una stima diretta delle loro frequenze fisiche