Formula di Feynman–Kac per la valutazione delle opzioni: spiegazione
Scopri come Feynman–Kac collega PDE lineari di valutazione e aspettative condizionate attualizzate, inclusi generatori, flussi di cassa, metodi numerici e limiti
Risposta diretta
La formula di Feynman–Kac rappresenta la soluzione di una PDE parabolica lineare adeguata come un'aspettativa condizionata sui percorsi di una diffusione. In finanza, trasforma un'equazione di valutazione in flussi di cassa terminali e correnti attesi e attualizzati
Il generatore della diffusione stabilisce l'evoluzione locale
Sia dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s e definisci il suo generatore Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
Il generatore riassume la variazione condizionata infinitesima delle funzioni regolari dello stato
Collega il modello dei percorsi a un'equazione differenziale senza sostenere che il percorso, non derivabile in alcun punto, abbia una derivata ordinaria
Una PDE all'indietro parte dalla condizione terminale
Considera ∂_t u + Lu - r u + f = 0 con valore terminale u(T,x) = g(x)
Qui g è un payoff terminale, r è un tasso di annullamento o attualizzazione e f è una sorgente corrente il cui segno segue la convenzione dichiarata della PDE
Poiché i dati terminali sono noti in T, la valutazione procede all'indietro anche se la diffusione dello stato evolve in avanti
L'aspettativa condizionata fornisce la rappresentazione
Sotto condizioni di regolarità e integrabilità, u(t,x) è uguale all'aspettativa condizionata di g(X_T) attualizzato più f accumulato e attualizzato
Con D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv), la rappresentazione è E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
Applicare la formula di Itô a D_{t,s}u(s,X_s) rende la sua deriva uguale al termine della sorgente cambiato di segno, producendo l'identità dopo aver calcolato le aspettative
L'attualizzazione fa parte dell'operatore
Un tasso a breve costante dà il familiare fattore e^{-r(T-t)}, ma tassi dipendenti dallo stato richiedono un integrale lungo il percorso
Dividendi correnti, cedole, costi o termini di sorgente entrano nell'integrale temporale invece di essere nascosti nel payoff terminale
Cambiare i segni nella PDE cambia la rappresentazione, quindi copia insieme operatore, condizione terminale e direzione temporale
La valutazione risk-neutral delle opzioni è un caso particolare
Sotto una misura di pricing valida, la dinamica attualizzata dell'asset negoziato determina L e il valore del derivato risolve la PDE di valutazione associata
Per un claim europeo senza pagamenti correnti, il prezzo è l'aspettativa condizionata del payoff terminale attualizzato
Black–Scholes è un'istanza di questo ponte, non la definizione di Feynman–Kac e non la prova che ogni mercato sia completo
PDE e Monte Carlo mirano allo stesso valore
Le differenze finite risolvono l'equazione all'indietro su una griglia, mentre Monte Carlo stima l'aspettativa sui percorsi in avanti
La concordanza tra implementazioni indipendenti è un controllo potente di segni, attualizzazione, condizioni al bordo ed errore di campionamento
Scegli metodi PDE per superfici e bordi a bassa dimensionalità; scegli la simulazione quando stati o funzionali del percorso rendono costose le griglie
Il teorema ha condizioni e limiti
Le formulazioni classiche richiedono condizioni su coefficienti, crescita, regolarità, integrabilità e unicità; versioni di viscosità più deboli ampliano l'ambito
L'esercizio americano crea un ostacolo o una disuguaglianza variazionale e i problemi non lineari di finanziamento o controllo non rientrano nella formula lineare semplice
I salti sostituiscono la PDE di diffusione con un'equazione integro-differenziale, mentre la dipendenza dal percorso richiede spesso di ampliare lo stato o usare altri metodi
Domande frequenti
Che cosa dice la formula di Feynman–Kac in termini semplici?
Dice che un certo valore definito da un'equazione differenziale può essere calcolato facendo la media degli esiti attualizzati di un processo casuale collegato
Perché la PDE di valutazione viene risolta all'indietro?
Il payoff è specificato alla scadenza, quindi il valore terminale è noto e il valore corrente viene propagato all'indietro verso oggi
Feynman–Kac è la stessa cosa della valutazione risk-neutral?
No. Il modello risk-neutral fornisce una misura di pricing e un generatore; Feynman–Kac collega poi la PDE lineare e l'aspettativa
La formula standard valuta le opzioni americane?
Non direttamente. L'esercizio anticipato trasforma l'uguaglianza in un problema a ostacolo o in una rappresentazione di arresto ottimale