Trasformata di Esscher nella valutazione delle opzioni: spiegazione
Comprendi l'inclinazione esponenziale, gli spostamenti cumulanti, i cambiamenti della misura di Lévy, la selezione del parametro di martingala, i mercati incompleti e le verifiche di esistenza
Risposta diretta
La trasformata di Esscher assegna all'esito x il peso e^{θx} e lo normalizza con la sua funzione generatrice dei momenti. Nei modelli esponenziali degli asset, θ può essere scelto in modo che il prezzo attualizzato sia una martingala sotto la misura modificata
L'inclinazione esponenziale ripesa gli esiti
Per una variabile casuale X con M(θ) = E[e^{θX}] finita, definiamo dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
Un θ positivo enfatizza gli esiti più grandi e un θ negativo quelli più piccoli, mentre la normalizzazione fa sì che i nuovi pesi sommino a uno
La trasformata cambia le probabilità, non gli esiti osservati, ed esiste solo dove il momento esponenziale è finito
La funzione cumulante cambia in modo diretto
Sia κ(u) = log E[e^{uX}] sul suo dominio dei momenti
Sotto la misura di Esscher, la cumulante è κ_θ(u) = κ(u+θ) − κ(θ)
Le derivate di κ_θ in zero forniscono i momenti modificati quando sono finiti, rendendo la trasformata utile per i metodi saddlepoint e i calcoli di rischio
Un processo ha bisogno di una densità coerente nel tempo
Per un processo di Lévy X_t, il processo di densità è Z_t = exp(θX_t − tκ(θ))
Gli incrementi indipendenti e stazionari fanno di Z una martingala positiva quando θ appartiene al dominio valido dei momenti
Sotto Q_θ il processo resta di Lévy, ma la sua deriva e la sua legge dei salti cambiano, mentre gli esiti dei percorsi e gli eventi nulli restano compatibili
La misura di Lévy viene inclinata esponenzialmente
Con convenzioni appropriate, la misura dei salti cambia da ν(dx) a ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
La varianza browniana resta invariata, mentre la deriva si adegua all'inclinazione browniana, alla compensazione dei salti e alla convenzione di troncamento
Confrontare i parametri di deriva senza specificare la funzione di troncamento può quindi creare una discrepanza apparente
Una condizione di martingala seleziona il parametro di valutazione
Per S_t = S_0e^{X_t} con carry r-q, la proprietà di martingala del prezzo attualizzato richiede κ_θ(1) = r-q
Equivalentemente, si risolve κ(θ+1) − κ(θ) = r-q quando entrambi i momenti esponenziali esistono
L'equazione può non avere soluzioni, averne una sola o presentare instabilità numerica vicino al limite del momento; la selezione del parametro non è automatica
Esscher è una scelta in un mercato incompleto
Il rischio di salto in genere non è completamente replicato, quindi molte misure equivalenti di martingala possono soddisfare l'assenza di arbitraggio
La regola di Esscher ne seleziona una preservando una famiglia di modelli inclinata esponenzialmente, ma la sola assenza di arbitraggio non la privilegia rispetto a ogni alternativa
Preferenze economiche, obiettivi di calibrazione, criteri di entropia, obiettivi di copertura o convenzioni di mercato possono implicare una misura diversa
La validazione deve includere le code
Verifica il dominio dei momenti per θ e θ+1, la normalizzazione della densità, il supporto equivalente, l'uguaglianza di martingala e il tripletto trasformato
Ricalibra su diverse scadenze e regimi, perché uno θ stabile dentro il campione può nascondere un'estrapolazione instabile delle code
Confronta i prezzi delle opzioni e gli errori di copertura sotto misure ammissibili alternative per rendere visibile il costo del rischio di modello dovuto alla scelta di Esscher
Domande frequenti
Che cos'è la trasformata di Esscher in termini semplici?
Crea una nuova legge di probabilità assegnando esponenzialmente più peso agli esiti grandi o piccoli e poi rinormalizzandoli
Come si sceglie il parametro di Esscher per la valutazione delle opzioni?
Di solito lo si sceglie in modo che il prezzo dell'asset modellato e attualizzato diventi una martingala sotto la misura trasformata
Una trasformata di Esscher esiste sempre?
No. I momenti esponenziali richiesti devono essere finiti e l'equazione di martingala può non avere una soluzione ammissibile
La misura di martingala di Esscher è unica?
Il suo parametro può essere unico all'interno della famiglia di Esscher, mentre possono comunque esistere altre misure equivalenti di martingala