Autovalori, autovettori e fattori di rischio finanziario
Comprendi autovalori, autovettori, decomposizione agli autovalori della covarianza, concentrazione del rischio, dimensione effettiva e instabilità dovuta all'errore di campionamento.
Risposta diretta
Un autovettore è una direzione conservata da una trasformazione lineare e il suo autovalore è il fattore di scala applicato lungo quella direzione. Per una matrice di covarianza dei rendimenti, gli autovettori rappresentano direzioni di movimento congiunto e i loro autovalori misurano la varianza lungo quelle direzioni. Se pochi autovalori grandi contengono la maggior parte del totale, un portafoglio può avere molte posizioni mentre il suo rischio resta concentrato in pochi assi comuni. Autovettori associati ad autovalori simili possono essere molto sensibili al campione, quindi gli analisti dovrebbero valutare sottospazi, varianza spiegata e stabilità fuori campione invece di attribuire un nome eccessivo ai singoli assi.
Alcune direzioni sopravvivono a una trasformazione
Una matrice generalmente cambia sia la lunghezza sia la direzione di un vettore. Un autovettore è una direzione speciale che in seguito resta sulla stessa retta.
Il suo autovalore indica di quanto quella direzione viene scalata. Un valore negativo inverte anche l'orientamento, sebbene gli autovalori di una covarianza non possano essere negativi.
La lunghezza di un autovettore è arbitraria, quindi di solito viene normalizzata a uno. Il vettore e il suo negativo rappresentano lo stesso asse.
Una matrice di covarianza conserva il movimento congiunto
Gli elementi diagonali sono le varianze dei singoli asset, mentre gli elementi fuori diagonale sono covarianze che descrivono il co-movimento a coppie.
Una matrice di covarianza è simmetrica e semidefinita positiva, quindi ammette autovalori reali e un insieme ortogonale di autovettori.
La covarianza campionaria viene stimata dalle osservazioni. I suoi autovalori e autovettori contengono quindi errore di campionamento, invece di essere fatti fissi.
Un autovalore è la varianza lungo una direzione
Proietta i rendimenti su un autovettore unitario della covarianza: la varianza campionaria di quel rendimento proiettato è uguale all'autovalore corrispondente.
La somma di tutti gli autovalori è uguale alla traccia della matrice, che è anche la somma delle varianze delle singole variabili.
Dividere un autovalore per quel totale dà la sua quota di varianza spiegata. Ordinare i valori dispone le direzioni di rischio adattate in base alla dimensione.
La decomposizione ortogonale ricostruisce il rischio
La decomposizione spettrale esprime la covarianza come somma di direzioni di autovettori ponderate per i relativi autovalori.
Poiché questi assi sono incorrelati, la varianza del portafoglio si separa nell'esposizione al quadrato di ciascun asse moltiplicata per l'autovalore dell'asse.
È un cambio di coordinate. Assi adattati incorrelati non dimostrano che gli shock economici sottostanti siano indipendenti.
Autovalori vicini rendono instabili le direzioni
Quando gli autovalori sono vicini, una piccola variazione dei dati può ruotare in modo sostanziale i relativi autovettori.
Se gli autovalori sono esattamente uguali, qualsiasi base ortogonale nel loro sottospazio condiviso produce la stessa covarianza. I singoli vettori non sono unici.
Allineamento dei segni, angoli tra vettori, distanza tra sottospazi e risultati bootstrap forniscono verifiche di stabilità migliori del solo confronto visivo.
Gli autovalori grandi rivelano la concentrazione del rischio
Un primo autovalore dominante significa che molti asset condividono una direzione forte, quindi la diversificazione effettiva può essere inferiore al numero nominale di posizioni.
La dimensione effettiva riassume quanto uniformemente la varianza è distribuita tra gli autovalori. Portafogli con lo stesso numero di asset possono avere dimensioni molto diverse.
Le correlazioni possono aumentare sotto stress e ampliare la quota principale. Una stima della covarianza in un periodo tranquillo può sovrastimare la diversificazione in crisi.
Collega PCA e rischio dei fattori con cautela
I loadings PCA sono autovettori di una matrice di covarianza o correlazione e la varianza spiegata deriva dai relativi autovalori.
Pochi autovalori grandi possono sostenere una struttura fattoriale statistica approssimata senza identificare l'origine economica di quei fattori.
I modelli fattoriali specificano struttura comune e residui; la decomposizione agli autovalori descrive la geometria della covarianza. Gli usi si sovrappongono, ma le ipotesi differiscono.
Dichiara stima e incertezza
Riporta definizione del rendimento, frequenza, finestra, valori mancanti, outlier, scelta di scaling e stimatore della covarianza.
Mostra lo spettro completo degli autovalori, le quote cumulate, gli autovettori principali e la regola di allineamento dei segni senza attribuire più identità di quanto l'evidenza sostenga.
Confronta finestre mobili, covarianza con shrinkage e previsioni del rischio fuori campione. Un grafico nitido dello spettro non elimina l'errore di stima.
Domande frequenti
Perché gli autovalori della covarianza non sono negativi?
La varianza non può essere negativa in nessuna direzione di portafoglio, il che rende una matrice di covarianza semidefinita positiva.
L'autovettore più grande è sempre il fattore di mercato?
Può assomigliargli, ma quell'identità richiede una validazione rispetto alla composizione, al disegno del campione e a un rendimento di mercato esterno.
Come si deve interpretare il segno di un autovettore?
Il vettore e il suo negativo definiscono lo stesso asse. Allinea i segni a un asset di riferimento o alla finestra precedente prima del confronto.
Una direzione con autovalore piccolo è irrilevante?
Non necessariamente. Può contare per vincoli di copertura, relazioni relative-value o previsioni nonostante abbia poca varianza contemporanea.