Uji Ljung–Box untuk Autokorelasi Deret Waktu

Plot autokorelasi sampel dapat menunjukkan ketergantungan pada beberapa lag, tetapi membaca dan menguji setiap batang secara terpisah menimbulkan masalah pengujian berganda. Uji Ljung–Box menggabungkan \(h\) autokorelasi sampel pertama menjadi satu statistik omnibus. Hipotesis nolnya menyatakan bahwa autokorelasi populasi pada lag 1 sampai \(h\) semuanya nol. Hipotesis alternatifnya menyatakan setidaknya satu autokorelasi berbeda dari nol.

Box dan Pierce mengembangkan uji ketidakcocokan menyeluruh untuk model deret waktu yang telah diestimasi. Ljung dan Box memodifikasi statistiknya agar pendekatan pada sampel terbatas lebih baik. “Omnibus” berarti satu statistik merangkum korelasi pada beberapa lag; istilah itu tidak berarti semua jenis ketergantungan deret waktu telah diuji.

Untuk seri imbal hasil, pertanyaannya mungkin apakah imbal hasil bertanda di masa lalu menyisakan korelasi serial linear. Untuk model ARMA yang telah dipasang, pertanyaannya biasanya apakah autokorelasi masih tersisa pada residual setelah model memakai struktur lag yang ditentukan. Keduanya berhubungan tetapi merupakan penerapan berbeda, jadi jelaskan seri mana yang diuji sebelum menafsirkan hasil.

Misalkan \(\hat\rho_k\) adalah autokorelasi sampel pada lag \(k\), \(n\) adalah jumlah observasi yang digunakan untuk menghitungnya, dan \(h\) adalah lag terbesar dalam pengujian. Statistik Box–Pierce adalah

\[ Q_{BP}=n\sum_{k=1}^{h}\hat\rho_k^2. \]

Penyesuaian Ljung–Box memberi bobot pada setiap lag berdasarkan ukuran sampel yang tersedia:

\[ Q_{LB}=n(n+2)\sum_{k=1}^{h}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}. \]

Karena korelasi dikuadratkan, autokorelasi positif maupun negatif sama-sama menaikkan statistik. Penyesuaian ini memberi bobot lebih besar pada korelasi taksiran dengan besar yang sama ketika jumlah pasangan observasi yang dapat digunakan lebih sedikit. Dalam sampel besar, kedua statistik sering mendekati satu sama lain; untuk sampel terbatas, Ljung–Box lazim dipakai karena studi aslinya menemukan pendekatan sampel kecil yang lebih baik.

Di bawah hipotesis nol white noise dan kondisi keteraturan yang diperlukan, \(Q_{LB}\) dibandingkan dengan distribusi chi-square. Untuk seri mentah tanpa parameter dinamis yang diestimasi, derajat kebebasan acuannya biasanya \(h\). Untuk residual dari model ARMA(\(p,q\)) yang diestimasi, penyesuaian umum adalah \(h-p-q\), selama nilainya positif. Koreksi ini memperhitungkan parameter yang digunakan untuk memasang dinamika residual; ini bukan aturan universal untuk mengurangi setiap koefisien dalam regresi apa pun. Model terintegrasi, musiman, terkendala, atau model khusus lainnya mungkin memerlukan konvensi berbeda. Sesuaikan derajat kebebasan acuan dengan uji residual dan definisi perangkat lunak yang tepat. Misalnya, menguji residual ARMA(2,2) hanya sampai \(h=4\) menghasilkan derajat kebebasan nol menurut penyesuaian umum. Perbandingan chi-square biasa tidak tersedia; pilih rentang lag yang lebih panjang dan telah ditentukan sebelumnya atau diagnostik yang dirancang untuk model tersebut, alih-alih memaksakan distribusi acuan dengan derajat kebebasan nol. Laporkan alasan pemilihan horizon lag.

Misalkan model yang dipasang menyisakan \(n=250\) residual, dan pemeriksaan lima lag yang ditentukan sebelumnya menghasilkan autokorelasi \(0.10, 0.05, -0.08, 0.02, -0.04\). Perhitungan Box–Pierce terlebih dahulu menguadratkan lalu menjumlahkannya:

\[ 0.10^2+0.05^2+(-0.08)^2+0.02^2+(-0.04)^2=0.0209. \]

Maka \(Q_{BP}=250(0.0209)=5.225\). Setelah bobot Ljung–Box diterapkan, hasilnya

\[ Q_{LB}=250(252)\left(\frac{0.0100}{249}+\frac{0.0025}{248}+\frac{0.0064}{247}+\frac{0.0004}{246}+\frac{0.0016}{245}\right)\approx 5.31. \]

Perhitungan ini belum menjadi nilai p. Jika residual tersebut berasal dari model ARMA(1,1), acuan yang umum memakai \(h-p-q=5-1-1=3\) derajat kebebasan. Seri mentah dapat memakai lima derajat kebebasan sesuai hipotesis nolnya sendiri. Pilihan derajat kebebasan mengubah probabilitas ekor atas. Semua angka ini dibuat untuk menunjukkan aritmetika, bukan data pasar yang diamati atau hasil suatu model.

Statistik kecil berarti autokorelasi kuadrat yang diamati tidak luar biasa besar menurut distribusi acuan yang dipilih. Itu tidak membuktikan bahwa korelasinya tepat nol. Statistik besar menunjukkan bahwa sekumpulan korelasi sulit diselaraskan dengan hipotesis nol pada tingkat yang dipilih; periksa lag dan fitur model yang menyebabkan hasil tersebut, alih-alih menganggap satu angka sebagai diagnosis.

Batas lag \(h\) menentukan pertanyaan yang diuji. Menguji hanya beberapa lag pendek dapat melewatkan ketergantungan yang lebih lambat atau pola mingguan dalam observasi harian. Memperpanjang pengujian ke banyak lag dapat menambah taksiran lemah dan bising, mengurangi daya untuk mendeteksi pola tertentu pada lag pendek, serta membuat hasil peka terhadap beberapa autokorelasi lag panjang. Nilai \(h\) yang besar juga menyisakan lebih sedikit derajat kebebasan setelah penyesuaian ARMA.

Pilih lag berdasarkan frekuensi sampling, struktur kalender yang diketahui, tujuan model, dan ketergantungan yang seharusnya sudah tidak ada pada residual. Untuk data pasar harian, lag sesi perdagangan tidak selalu sama dengan lag hari kalender. Data intrahari dapat memiliki pola musiman berdasarkan waktu dan efek semalam. Model musiman mungkin memerlukan lag musiman atau diagnostik musiman; satu batas umum dapat menyembunyikan struktur tersebut.

Jika banyak nilai \(h\), transformasi, aset, atau orde model dicoba dan hanya nilai p terkecil yang dilaporkan, signifikansi yang ditampilkan mengabaikan proses pencarian. Nyatakan rentang lag dan aturan keputusan sebelum menafsirkan diagnostik, atau perhitungkan pencarian yang lebih luas dalam rencana inferensi.

Plot autokorelasi sering menyertakan batas perkiraan per lag seperti \(\pm1.96/\sqrt{n}\). Pada model white noise sederhana, batas itu dapat membantu menandai korelasi sampel individual, tetapi bukan pita 95% simultan untuk semua lag. Melihat banyak batang secara terpisah meningkatkan kemungkinan setidaknya satu melewati batas secara kebetulan. Uji Ljung–Box mengajukan satu pertanyaan gabungan untuk himpunan lag yang telah ditentukan sebelumnya dan menggunakan distribusi acuan bagi statistik gabungan.

Statistik gabungan dapat meningkat karena satu autokorelasi yang relatif besar atau beberapa korelasi sedang. Setelah pengujian, periksa kontribusi tiap lag \(n(n+2)\hat\rho_k^2/(n-k)\) dan plot ACF. Satu batang di luar batas heuristik tidak otomatis sama dengan hasil omnibus yang signifikan; dan semua batang di dalam batas masing-masing juga tidak menjamin statistik gabungan tidak signifikan.

Menerapkan uji pada imbal hasil bertanda menanyakan apakah autokorelasi linearnya sampai lag \(h\) secara bersama-sama nol. Menerapkannya pada residual hasil estimasi menanyakan apakah model yang dipilih masih menyisakan ketergantungan linear serupa. Penolakan dapat menjadi alasan untuk memeriksa spesifikasi rata-rata, waktu pencatatan, kalender pasar, dan plot residual; hasil itu tidak mengidentifikasi sendiri suku model yang hilang.

Definisi observasi dapat menciptakan autokorelasi meskipun imbal hasil dasar satu periode tidak berkorelasi. Misalnya, imbal hasil bergulir lima sesi dan imbal hasil bergulir lima sesi berikutnya berbagi empat imbal hasil harian. Tumpang tindih itu secara mekanis menghubungkan observasi yang berdekatan. Ljung–Box dapat dengan benar menolak nol autokorelasi pada seri yang dibentuk demikian tanpa menunjukkan bahwa imbal hasil harian yang tidak tumpang tindih dapat diprediksi.

Jelaskan apakah observasi berupa imbal hasil harian, imbal hasil bergulir beberapa hari, atau residual dari model atas hasil yang tumpang tindih. Sesuaikan kalender sesi, cap waktu penutupan, dan interval semalam dengan pertanyaan ekonomi. Jika horizon yang tumpang tindih memang diperlukan, gunakan inferensi dan distribusi acuan yang sesuai dengan konstruksi tersebut; jangan tafsirkan hasil sebagai bukti keunggulan trading tersendiri.

Volatility clustering dapat terjadi meskipun autokorelasi imbal hasil bertanda kecil. Menguadratkan residual mengubah pertanyaan: autokorelasi pada residual kuadrat atau residual terstandar absolut dapat menunjukkan ketergantungan pada skala imbal hasil. McLeod dan Li mengkaji autokorelasi residual kuadrat sebagai diagnostik ketergantungan nonlinier setelah model ARMA dipasang. Ini tetap merupakan diagnostik, bukan bukti bahwa hanya ada satu model volatilitas yang benar. Panduan ARCH-LM membahas uji yang lebih terarah untuk ketergantungan tipe ARCH, sedangkan panduan GARCH menjelaskan pemodelan varians kondisional.

Autokorelasi nol merupakan kondisi yang lebih lemah daripada independensi. Sebuah seri dapat memiliki korelasi nol pada lag yang diuji tetapi masih bergantung melalui transformasi nonlinier, varians kondisional, ekor distribusi, atau rezim. Statistik Ljung–Box sendiri juga tidak menyatakan apa pun tentang normalitas, stasioneritas, struktur kausal, atau apakah imbal hasil dapat diperoleh setelah biaya eksekusi.

Pendekatan chi-square sederhana bergantung pada model, konstruksi residual, ukuran sampel, dan cara parameter diestimasi. Jika model ARMA dipasang terlebih dahulu, autokorelasi residual merupakan besaran hasil estimasi, bukan korelasi dari inovasi yang diamati secara langsung. Penyesuaian derajat kebebasan yang umum adalah konvensi asimtotik praktis, bukan jaminan ketepatan sampel terbatas untuk setiap spesifikasi.

Sampel kecil, horizon lag yang panjang, akar AR dan MA yang hampir saling meniadakan, pencilan, heteroskedastisitas kondisional, atau ketergantungan serial di luar keluarga model dapat mengurangi keandalan pendekatan tersebut. Penolakan dapat mencerminkan kesalahan spesifikasi rata-rata, masalah kualitas data, atau distribusi acuan yang tidak sesuai. Tidak menolak juga dapat terjadi karena daya uji rendah atau pemilihan lag yang mengabaikan ketergantungan yang diminati.

Untuk model yang rumit atau tidak standar, gunakan prosedur diagnostik dengan distribusi acuan yang cocok dengan proses pemodelan, atau nilai kalibrasinya memakai bootstrap yang beralasan dan mengulang tahap estimasi. Mengambil ulang residual secara iid tidak otomatis valid saat yang dikhawatirkan adalah ketergantungan atau varians yang berubah. Jelaskan desain pengambilan ulang dan pisahkan pemilihan model dari evaluasi akhir.

Setelah penolakan, periksa fungsi autokorelasi, autokorelasi parsial jika relevan, waktu terjadinya residual, dan kontribusi tiap lag terhadap \(Q_{LB}\). Pertimbangkan apakah polanya berjangka pendek, musiman, muncul karena suku rata-rata yang terlewat, atau terkonsentrasi pada residual kuadrat. Perubahan spesifikasi perlu mengikuti pertanyaan spesifikasi yang dapat dipertanggungjawabkan dan dinilai pada data yang tidak digunakan untuk memilih perubahan tersebut.

Dalam aturan trading, pola sampel yang dapat diprediksi belum tentu merupakan keunggulan yang dapat dieksekusi. Ramalan langkah berikutnya harus tersedia sebelum order dikirim, bertahan pada holdout kronologis di luar sampel, dan memperhitungkan spread bid-ask, dampak pasar, komisi, pendanaan, pinjaman, serta turnover. Uji Ljung–Box tidak menguji profitabilitas bersih strategi dan tidak membuktikan bahwa penolakan akan bertahan di luar sampel.

Laporkan definisi dan jumlah observasi, seri yang diuji, transformasi, batas lag, autokorelasi individual atau plot, varian uji, derajat kebebasan acuan, statistik, nilai p, dan tingkat signifikansi. Untuk imbal hasil keuangan, jelaskan penanganan sesi perdagangan, nilai yang hilang, horizon tumpang tindih, dan varians kondisional yang dipasang. Dengan begitu pembaca dapat melihat apa yang dilakukan uji dan apa yang masih belum terjawab.

Makalah Box dan Pierce tahun 1970 mengembangkan statistik menyeluruh untuk autokorelasi residual. Makalah Ljung dan Box tahun 1978 mengusulkan penyesuaian sampel terbatas. Makalah McLeod dan Li tahun 1983 mengkaji autokorelasi residual kuadrat. Referensi Box–Ljung dari NIST merangkum statistik dan penyesuaian derajat kebebasan residual. Untuk diagnostik terkait, lihat panduan uji rasio varians, ARCH-LM, dan volatility clustering GARCH.