Rasio Lindung Nilai Filter Kalman: Regresi Dinamis untuk Pairs Trading

Rasio lindung nilai tetap mengestimasi satu koefisien pada sampel pembentukan lalu mempertahankannya. Model lindung nilai dinamis memperlakukan intersep dan kemiringan sebagai besaran laten yang dapat berubah seiring waktu. Filter Kalman mengestimasi keduanya secara rekursif dengan menggabungkan estimasi sebelumnya dan informasi dari pengamatan baru.

Untuk dua aset kandidat, misalkan \(y_t\) adalah log harga salah satu aset dan \(x_t\) log harga aset lainnya. Regresi jangka panjang yang berubah dapat ditulis sebagai \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\). Koefisien \(\beta_t\) menggambarkan hubungan yang sesuai pada waktu \(t\); koefisien ini tidak otomatis menjadi jumlah saham, posisi netral dolar, atau hukum ekonomi yang stabil.

Penerapan ini menggunakan rekursi prediksi dan pembaruan umum pada model ruang-keadaan linear. Kalman memperkenalkan kerangka penyaringan rekursif, lalu penelitian ekonometrika berikutnya menggunakannya untuk mengestimasi koefisien regresi yang berubah seiring waktu. Pairs trading dengan spread stokastik merupakan salah satu penerapannya, tetapi asumsi trading harus dinilai terpisah dari algoritme filter.

Definisikan vektor keadaan dan baris observasi sebagai berikut:

\[ \theta_t= \begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

Persamaan observasinya adalah \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). Persamaan ini menghubungkan log harga teramati dengan intersep dan koefisien lindung nilai laten, ditambah noise observasi. Titik awal yang umum membiarkan kedua koefisien mengikuti jalan acak:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

\(Q\) adalah kovarians perubahan koefisien, sedangkan \(R\) adalah varians noise observasi. Jika \(Q=0\), koefisien tetap dalam model ini; \(Q\) positif memungkinkan koefisien bergerak. Transisi keadaan lain juga mungkin, tetapi masing-masing menyatakan asumsi berbeda tentang perilaku hubungan tersebut.

Menggunakan \(Q\) diagonal menambahkan asumsi bahwa guncangan pada perubahan intersep dan kemiringan tidak berkorelasi. Elemen di luar diagonal memungkinkan keduanya bergerak bersama, tetapi sampel harus memuat cukup informasi untuk mengestimasi kovarians tersebut. Matriks kovarians yang valid harus simetris dan semidefinit positif.

Spesifikasi sederhana ini mengasumsikan gangguan proses dan observasi bermean nol, tidak berkorelasi secara serial, dan saling independen. Itu adalah asumsi model; pengamatan harga tidak otomatis memenuhinya.

Pada akhir \(t-1\), filter memiliki estimasi \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) dan kovarians \(P_{t-1|t-1}\). Persamaan keadaan jalan acak menghasilkan prediksi:

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

Estimasi diteruskan, sementara ketidakpastian bertambah sebesar kovarians perubahan koefisien yang diizinkan. \(P\) menggambarkan ketidakpastian keadaan regresi laten di bawah model yang ditetapkan. Ini bukan ramalan kerugian trading pasangan atau ukuran lengkap risiko portofolio.

Prediksi observasi satu langkah ke depan adalah \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). Keadaan prior penting karena dihitung tanpa melihat \(y_t\) yang baru. Jika residual dihitung setelah koefisien diperbarui menggunakan observasi yang sama, pembaruan itu sudah menarik residual ke arah nol.

Karena \(H_t\) memuat \(x_t\), harga penjelas saat ini memengaruhi \(S_t\) dan gain. Jika ketidakpastian kemiringan cukup besar, pengamatan pada nilai \(x_t\) yang berbeda dapat memberi informasi berbeda tentang \(\beta_t\), sementara kovarians intersep-kemiringan juga berperan. Memusatkan atau mengubah skala \(x_t\) mengubah makna intersep dan satuan koefisien, sehingga elemen terkait pada \(Q\) dan \(P\) awal perlu ditransformasi atau diestimasi ulang, bukan disalin begitu saja.

Ketika pengamatan baru tiba, galat prediksi satu langkah, atau inovasi, adalah:

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

Varians inovasi \(S_t\) menggabungkan ketidakpastian keadaan yang diprediksi dan noise observasi. Gain Kalman dan pembaruan keadaan adalah:

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

Gain mengalokasikan kejutan baru antara perubahan hubungan estimasi dan perlakuan terhadap observasi sebagai noise. Gain yang lebih besar membuat filter lebih menyesuaikan estimasi terhadap observasi ini; itu tidak berarti hubungan tersebut lebih dapat dipercaya.

Misalkan filter hipotetis memprediksi \(\hat\alpha=2.0\), \(\hat\beta=1.20\), dan \(x_t=50\), sehingga \(\hat y=62.0\). Jika nilai teramati \(y_t=62.8\), inovasinya \(0.8\). Jika gain model adalah \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\), intersep yang diperbarui menjadi \(2.064\) dan kemiringan menjadi \(1.2048\). Angka rekaan ini hanya menunjukkan perhitungannya; bukan rasio lindung nilai empiris atau bukti bahwa penyimpangan akan berbalik.

Matriks noise proses \(Q\) menentukan seberapa jauh koefisien regresi boleh bergerak dari satu pengamatan ke pengamatan berikutnya. \(Q\) yang lebih besar biasanya menaikkan gain dan membuat estimasi lebih responsif. Estimasi dapat mengikuti perubahan nyata lebih cepat, tetapi juga dapat mengejar noise sementara dan membuat bobot lindung nilai berubah cepat. \(Q\) yang terlalu kecil menghasilkan estimasi lebih halus yang mungkin terlambat mengikuti patahan nyata.

Varians noise observasi \(R\) menggambarkan variasi \(y_t\) yang tidak dijelaskan hubungan tersebut. Dengan besaran lain tetap, \(R\) lebih besar membuat filter kurang mempercayai setiap pengamatan baru. \(Q\) maupun \(R\) bukan konstanta penyetelan universal. Skalanya bergantung pada apakah model menggunakan harga, log harga, seri ternormalisasi, serta interval sampling yang dipilih.

Parameter noise dapat diestimasi melalui likelihood atau ditentukan sebelumnya dari jendela pelatihan, tetapi menyetelnya berdasarkan hasil periode trading akhir membocorkan informasi hasil. Keadaan awal \(\hat\theta_{0|0}\) dan kovariansnya \(P_{0|0}\) juga penting: inisialisasi yang tidak pasti dapat menghasilkan periode penyesuaian awal yang cepat. Laporkan inisialisasi, sampel estimasi parameter, dan sensitivitas terhadap alternatif yang wajar.

Estimasi tersaring \(\hat\theta_{t|t}\) menggunakan pengamatan hingga waktu \(t\). Estimasi yang diperhalus pada waktu \(t\) dapat menggunakan pengamatan yang tiba setelah \(t\). Smoothing berguna untuk menggambarkan keadaan laten historis, tetapi tidak tersedia bagi trader pada waktu keputusan historis tersebut.

Masalah waktu yang sama berlaku untuk estimasi \(Q\), \(R\), pemilihan pasangan, dan ambang sinyal. Jika semuanya dipasang sekali menggunakan seluruh sampel, estimasi awal ikut memanfaatkan pengamatan kemudian, walaupun rekursi koefisiennya berjalan satu arah. Untuk simulasi waktu nyata, estimasi parameter hiper hanya dengan periode pembentukan, bekukan atau perbarui menurut jadwal walk-forward yang dinyatakan, dan buat keputusan posisi berdasarkan informasi yang tersedia sebelum eksekusi.

Waktu observasi bukan waktu pengisian order. Jika harga penutupan pada \(t\) diperlukan untuk menghitung \(v_t\), backtest tidak dapat mengasumsikan eksekusi pada penutupan yang sama kecuali proses eksekusinya memungkinkan. Gunakan kuotasi berikutnya yang dapat dieksekusi atau model eksekusi yang dapat dipertanggungjawabkan, serta perhitungkan spread, dampak pasar, biaya, peminjaman, dan pendanaan.

Dalam studi pasangan, inovasi \(v_t\) sebelum pembaruan adalah kejutan relatif terhadap hubungan yang diprediksi sebelumnya. Membaginya dengan \(\sqrt{S_t}\) menghasilkan inovasi terstandar di bawah model. Ukuran ini membantu membandingkan kejutan antarperiode dengan ketidakpastian estimasi yang berbeda, tetapi tidak menyatakan berapa banyak masing-masing aset harus dibeli atau dijual, maupun apakah penyimpangan besar akan berbalik.

Residual setelah pembaruan \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) berbeda karena menggunakan pengamatan saat ini untuk mengubah koefisien. Mencampur residual tersebut dengan ambang sebelum pembaruan mengubah makna sinyal. Definisikan spread, waktu perhitungan, dan ambangnya secara eksplisit, serta nyatakan apakah koefisien yang dipakai adalah prior, tersaring, atau diperhalus.

Sekalipun \(\beta_t\) diestimasi dari log harga, menerjemahkannya menjadi order memerlukan aturan posisi terpisah. Bobot log harga tidak langsung menentukan jumlah saham atau kontrak. Harga, pengali kontrak, mata uang, dan batas akun menentukan eksposur dolar; intersep bukan aset yang diperdagangkan. Biaya penyeimbangan ulang dan perubahan eksposur di antara pembaruan koefisien juga penting.

Koefisien yang berubah perlahan dapat mewakili perubahan bertahap, tetapi juga dapat menyerap hubungan yang sudah rusak. Model dengan keadaan fleksibel dapat menjaga residual hasil estimasi tampak kecil meskipun tidak ada keseimbangan jangka panjang yang stabil. Filter tidak menguji kointegrasi dan tidak menjamin residual stasioner.

Pemilihan pasangan juga penting. Menyaring banyak aset lalu memilih pasangan dengan residual dalam sampel paling halus berarti pasangan dipilih menggunakan data yang sama untuk menyatakan kestabilan. Aksi korporasi, harga kedaluwarsa, penutupan tidak serempak, batasan short selling, perubahan likuiditas, dan pergantian rezim dapat mengubah keadaan estimasi atau membuat lindung nilai teoritis sulit dieksekusi.

Periksa perilaku residual, ketidakpastian keadaan, turnover, dan jalur koefisien selain garis hasil estimasi. Gunakan periode uji kronologis di luar sampel dan bandingkan dengan tolok ukur rasio tetap. Estimasi yang lebih adaptif harus sepadan dengan turnover dan risiko estimasinya setelah biaya realistis; tampilan yang halus saja bukan bukti kinerja.

Sebutkan seri harga atau imbal hasil yang dimodelkan, transformasinya, frekuensi observasi, tanggal sampel, dan aset mana yang berada di sisi kiri regresi. Sajikan persamaan observasi dan keadaan, matriks transisi, \(Q\), \(R\), inisialisasi, metode estimasi, serta apakah keadaan yang dilaporkan tersaring atau diperhalus.

Untuk hasil trading, definisikan inovasi atau spread yang menjadi sinyal, normalisasinya, cap waktu keputusan, jeda order, ukuran posisi, aturan penyeimbangan ulang, dan semua biaya eksekusi. Jelaskan penyaringan pasangan, jendela pelatihan dan pengujian, cara penyetelan ulang parameter noise, serta perilaku strategi setelah patahan atau pengamatan hilang. Bandingkan koefisien tetap dan dinamis pada pembagian kronologis yang sama.

Makalah Kalman tentang penyaringan linear mengembangkan kerangka rekursif. Hatanaka mengkaji regresi dengan beberapa koefisien yang berubah sepanjang waktu. Elliott, van der Hoek, dan Malcolm menyajikan model stokastik untuk pairs trading. Untuk topik terkait, lihat panduan prediksi dan pembaruan Kalman, kointegrasi versus korelasi dalam pairs trading, uji peringkat Johansen, dan uji rasio varians.