Deviasi Besar dan Smile Opsi Dijelaskan
Pelajari bagaimana fungsi laju menggambarkan pergerakan yang jarang secara eksponensial, bagaimana ia masuk ke asimtotik opsi dan volatilitas tersirat, serta di mana aproksimasi berhenti
Jawaban langsung
Prinsip deviasi besar menggambarkan bagaimana probabilitas hasil langka meluruh pada skala eksponensial. Dalam teori opsi, fungsi lajunya dapat menentukan perilaku utama harga ekor dan volatilitas tersirat dalam rezim waktu pendek, noise kecil, atau waktu panjang yang dinyatakan
Deviasi besar mempelajari skala yang berbeda
Teorema limit pusat menggambarkan fluktuasi tipikal di sekitar rata-rata, umumnya pada skala akar kuadrat
Teori deviasi besar justru bertanya bagaimana probabilitas himpunan yang jauh menyusut ketika suatu parameter skala menjadi ekstrem
Teori ini berguna ketika payoff opsi terkonsentrasi pada hasil yang terlalu langka untuk dijelaskan dengan baik oleh aproksimasi Gaussian lokal
Fungsi laju menetapkan harga kelangkaan secara geometris
Untuk peubah X_ε dengan kecepatan a_ε yang menuju tak hingga, notasi singkat P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] menangkap gagasan utamanya
Prinsip formal memberikan batas bawah dan atas terpisah untuk himpunan terbuka dan tertutup, bukan kesamaan eksak untuk setiap kejadian
Fungsi laju I nonnegatif dan biasanya bernilai nol pada state tipikal; fungsi laju yang baik memiliki himpunan level kompak
Kumulan dapat menyingkap laju
Di bawah kondisi Gärtner–Ellis, fungsi pembangkit kumulan terskala yang membatasi Λ(θ) dapat menghasilkan I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)}
Transformasi Legendre–Fenchel ini memilih pemiringan eksponensial yang membuat endpoint langka menjadi tipikal di bawah ukuran yang diubah
Kesimpulan ini memerlukan pemeriksaan domain, diferensiabilitas, dan steepness; transformasi yang hingga pada beberapa nilai θ saja tidak cukup
Asimtotik opsi mewarisi lintasan langka termurah
Opsi out-of-the-money hanya membayar di luar strike, sehingga harga utamanya dapat ditentukan oleh state atau lintasan dengan biaya paling kecil yang mencapai wilayah payoff tersebut
Prinsip kontraksi memindahkan fungsi laju melalui pemetaan seperti aturan dari lintasan ke harga terminal atau agregasi basket
Setelah asimtotik opsi dicocokkan dengan harga acuan, perilaku utama volatilitas tersirat dapat diturunkan untuk rezim penskalaan yang sama
Rezim harus disebutkan secara eksplisit
Jatuh tempo pendek, noise volatilitas kecil, jatuh tempo panjang, dan strike ekstrem adalah limit yang berbeda dan dapat menghasilkan fungsi laju yang berbeda
Rumus yang dibuktikan dengan log-moneyness tetap ketika jatuh tempo menyusut belum tentu berlaku ketika strike juga bergerak mengikuti jatuh tempo
Orde eksponensial utama tidak menentukan prefaktor, kelengkungan pada jatuh tempo hingga, atau seberapa cepat smile yang dikutip mendekati limit
Fungsi laju tidak menggantikan tanpa arbitrase
Smile asimtotik tetap dapat melanggar monotonisitas harga call, konveksitas strike, urutan kalender, atau batas harga ketika digunakan di luar domainnya
Hukum terminal risk-neutral juga harus mempertahankan kondisi martingale aset yang didiskontokan, yang mungkin terlewat oleh aproksimasi ekor yang nyaman
Gunakan teori ini sebagai kendala struktural atau panduan ekstrapolasi, lalu tegakkan arbitrase statis pada permukaan harga lengkap
Validasi harus menguji skala dan struktur
Estimasi log probabilitas atau harga opsi pada beberapa nilai ε atau jatuh tempo dan periksa apakah kemiringannya stabil pada laju yang diprediksi
Bandingkan dengan harga Monte Carlo, transformasi, atau PDE jika memungkinkan, termasuk di dekat batas antara wilayah sentral dan kejadian langka
Catat penskalaan, ukuran, variabel state, domain fungsi laju, perlakuan prefaktor, dan pemeriksaan arbitrase pada setiap implementasi
Pertanyaan umum
Apa itu prinsip deviasi besar?
Ini adalah sepasang batas probabilitas eksponensial atas dan bawah yang dikendalikan oleh kecepatan dan fungsi laju ketika skala menjadi ekstrem
Bagaimana fungsi laju memengaruhi smile opsi?
Fungsi ini dapat menentukan biaya utama untuk mencapai wilayah payoff opsi, yang kemudian dapat menyiratkan perilaku utama volatilitas dalam limit yang sama
Apakah teori deviasi besar sama dengan model distribusi ekor?
Tidak. Teori ini memberikan peluruhan logaritmik asimtotik di bawah asumsi tertentu dan mungkin tidak menentukan distribusi skala hingga yang ternormalisasi atau prefaktornya
Bisakah saya menggunakan satu rumus deviasi besar untuk setiap jatuh tempo dan strike?
Tidak. Rezim penskalaan merupakan bagian dari teorema, dan perubahan cara jatuh tempo, noise, atau strike bergerak dapat mengubah jawabannya