Uji J Hansen: Penjelasan tentang Pembatas Overidentifikasi dalam GMM

Generalized method of moments (GMM) mengestimasi parameter dengan membuat versi sampel dari kondisi momen teoretis sedekat mungkin ke nol. Dalam model variabel instrumental, suatu momen dapat menyatakan bahwa instrumen yang diajukan tidak berkorelasi dengan galat struktural pada parameter yang benar. Model lain menggunakan implikasi persamaan penetapan harga aset, persamaan Euler, atau pembatas data panel.

Jika model memiliki lebih banyak kondisi momen daripada parameter yang tidak diketahui, setelah estimasi masih ada pembatas yang dapat diperiksa. Statistik J Hansen merangkum seberapa jauh momen sampel hasil pencocokan tetap menyimpang dari nol setelah diterapkan matriks pembobot tertentu. Ini adalah uji spesifikasi bersama dalam kerangka tersebut, bukan audit langsung yang dapat memberi label “valid” atau “tidak valid” pada satu instrumen.

Perbedaan ini penting dalam keuangan dan riset kuantitatif. Model perdagangan atau penetapan harga aset dapat menghasilkan banyak kondisi momen, tetapi hasil uji bergantung pada imbal hasil, faktor, instrumen, tanggal, dan asumsi kovarians yang membentuk momen tersebut. Nilai p kecil dapat menjadi bukti yang bertentangan dengan gabungan asumsi itu; nilai p besar bukan bukti independen bahwa semuanya benar.

Misalkan \(g_t(\theta)\) adalah vektor kontribusi momen dengan \(q\) komponen pada tanggal \(t\), yang dievaluasi pada vektor parameter \(\theta\). Rata-rata sampelnya adalah:

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

GMM memilih \(\hat\theta\) untuk meminimalkan jarak kuadratik berbobot seperti:

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

dengan \(W_T\) sebagai matriks pembobot positif. Pembobotan menentukan seberapa besar ketidakcocokan antarkondisi momen berkontribusi pada kriteria. Dengan asumsi pengambilan sampel yang dinyatakan, GMM efisien menggunakan bobot yang berkaitan dengan invers matriks kovarians jangka panjang momen. Uji J memakai kriteria minimum setelah estimasi, bukan nilai objektif pada parameter yang dipilih tanpa estimasi.

Rumusnya ringkas, tetapi komponennya tidak dapat dipertukarkan. Perubahan instrumen mengubah \(g_t\); perubahan sampel mengubah rata-rata; perubahan estimator kovarians mengubah bobot; dan perubahan estimator dapat mengubah parameter hasil pencocokan. Karena itu, agar statistik J dapat direproduksi, pelaporan angka saja dan kata “robust” tidak cukup.

Jika ada \(q\) kondisi momen independen dan \(k\) parameter yang teridentifikasi secara lokal, derajat kebebasan overidentifikasi yang lazim adalah \(q-k\). Contohnya, tiga momen independen untuk mengestimasi dua parameter menyisakan satu pembatas overidentifikasi. Di bawah hipotesis nol bahwa semua momen populasi berlaku, statistik J berbobot dengan benar dibandingkan secara asimtotik dengan distribusi khi-kuadrat pada derajat kebebasan tersebut.

Jika jumlah momen sama dengan jumlah parameter, model teridentifikasi tepat dan momen hasil pencocokan biasanya dapat dibuat nol. Tidak ada pembatas berlebih untuk dinilai oleh statistik J, sehingga derajat kebebasannya nol dan uji overidentifikasi ini tidak tersedia. Jumlah parameter yang melebihi jumlah momen independen menimbulkan masalah identifikasi lain; hal itu tidak menghasilkan derajat kebebasan negatif atau uji J yang bermakna.

Hitung pembatas momen independen yang efektif, bukan sekadar jumlah kolom pada keluaran perangkat lunak. Instrumen redundan atau momen yang bergantung secara linear dapat menurunkan rank efektif. Acuan khi-kuadrat biasa juga memerlukan identifikasi dan kondisi sampel besar lainnya. Nilai nominal \(q-k\) tidak memperbaiki matriks kovarians momen yang singular atau diestimasi dengan buruk.

Anggap suatu model memakai tiga kondisi momen untuk mengestimasi dua parameter, sehingga derajat kebebasan lazimnya \(3-2=1\). Misalkan perangkat lunak melaporkan statistik J sebesar \(5.4\) dengan prosedur pembobotan yang dirancang konsisten dengan asumsi kovarians yang dinyatakan. Dibandingkan dengan acuan khi-kuadrat satu derajat kebebasan, nilai p-nya sekitar \(0.020\). Pada tingkat 5% yang ditetapkan sebelumnya, peneliti akan menolak hipotesis nol bersama bahwa ketiga momen populasi sama dengan nol.

Kesimpulan itu lebih terbatas daripada “instrumen 2 tidak valid”. Statistik J adalah satu jarak berbobot untuk sistem secara keseluruhan; uji ini tidak mengidentifikasi momen mana yang menyebabkan pertentangan. Hasil serupa dapat mencerminkan instrumen yang tidak valid, persamaan struktural yang salah spesifikasi, dinamika yang dihilangkan, model kovarians yang keliru, atau kegagalan lain pada kerangka yang dipertahankan. Diagnosis lanjutan dan pengetahuan substantif diperlukan untuk menyelidiki sumbernya.

Jika nilai p sebesar \(0.20\), kesimpulan yang tepat adalah uji ini tidak menolak pembatas bersama pada tingkat yang dipilih. Itu bukan berarti “instrumen terbukti valid”. Uji dapat gagal menolak karena pembatas memang masuk akal, daya uji terbatas, atau sampel terlalu kecil atau bising untuk membedakan pelanggaran. Tetapkan ambang sebelum memeriksa banyak variasi model; mencari-cari sampai menemukan nilai p yang tampak dapat diterima menimbulkan masalah seleksi lain.

Hipotesis nol berupa sekumpulan pembatas populasi yang ditafsirkan di bawah model dan kondisi asimtotik yang mendasari distribusi acuannya. Ketika J menolak, setidaknya sebagian dari sistem yang dipertahankan sulit diselaraskan dengan sampel di bawah pembobotan uji. Uji ini sendiri tidak dapat membedakan pembatas eksklusi yang buruk dari bentuk fungsi yang keliru, ketergantungan keadaan yang dihilangkan, kesalahan konstruksi data, atau estimasi kovarians jangka panjang yang tidak sesuai.

Uji ini juga tidak menetapkan kausalitas. Dalam rancangan IV, uji overidentifikasi dapat menilai apakah pembatas tambahan konsisten satu sama lain di bawah model. Uji itu tidak memastikan pembatas eksklusi bagi setiap instrumen, terutama jika semua instrumen mungkin berbagi pelanggaran. Relevansi instrumen berbeda dari eksklusi: gunakan diagnostik tahap pertama dan identifikasi lemah untuk relevansi, serta jelaskan jalur ekonomi yang mendukung eksklusi.

Dalam penerapan penetapan harga aset linear, statistik sejenis J dapat menguji pembatas penetapan harga bersama yang tersirat oleh model faktor dan kumpulan aset uji tertentu. Penolakan tidak otomatis menyebut faktor yang hilang atau menunjukkan strategi yang dapat diperdagangkan akan menghasilkan imbal hasil. Tidak menolak juga tidak menetapkan kebenaran ekonomi model. Panduan Fama–MacBeth membahas prosedur harga risiko lintas bagian terkait dan batas inferensinya.

Uji Sargan klasik muncul dalam estimasi variabel instrumental dengan asumsi kovarians yang ketat, lazimnya gangguan homoskedastik. Uji J Hansen adalah statistik overidentifikasi GMM yang dibangun memakai kovarians momen terestimasi sehingga dapat memperhitungkan heteroskedastisitas dan, dengan estimasi kovarians jangka panjang yang sesuai, ketergantungan waktu. Label “Hansen” tidak membuat implementasi kebal terhadap semua salah spesifikasi; pilihan kovarians dan pembobotan harus cocok dengan proses momen.

Untuk momen deret waktu, korelasi serial mengubah varians jangka panjang rata-rata sampel. Estimasi HAC seperti Newey–West dapat menjadi bagian dari perhitungan kovarians yang sesuai jika asumsi dan pilihan lag-nya cocok dengan data. Observasi panel atau berklaster mungkin memerlukan konstruksi kovarians lain. Koreksi kovarians yang hanya digunakan untuk galat baku koefisien tidak otomatis berarti fungsi objektif J memakai matriks bobot yang sesuai.

GMM satu tahap, dua tahap, dan iteratif dapat mengestimasi parameter dengan bobot berbeda. Dalam prosedur dua tahap yang efisien, bobot terestimasi itu sendiri menambah ketidakpastian sampel terbatas; galat baku dan perilaku uji dapat rapuh, terutama jika momen banyak dibanding observasi. Koreksi sampel terbatas yang dikaji Windmeijer menyangkut estimasi varians dalam pengaturan GMM dua tahap efisien linear tertentu. Itu bukan koreksi universal untuk setiap statistik J.

Uji J bukan uji kekuatan instrumen. Instrumen yang informasinya lemah dapat membuat estimasi parameter dan pendekatan konvensional tidak andal; gunakan metode yang dirancang untuk identifikasi lemah, bukan menganggap nilai p J yang tampak nyaman sebagai diagnostik kekuatan. Kalibrasi khi-kuadrat sampel besar tidak menjamin sampel keuangan pendek berperilaku sesuai limit asimtotiknya.

Menambahkan instrumen atau kondisi momen tampak menarik karena seolah menambah informasi. Dalam GMM panel dinamis, instrumen yang berlebihan dapat mencocokkan variabel endogen secara berlebihan dan melemahkan kemampuan uji spesifikasi mendeteksi pelanggaran. Karena itu, nilai p yang sangat tinggi setelah membentuk himpunan instrumen besar mungkin tidak memberi banyak jaminan. Laporkan jumlahnya, jelaskan lag atau jendela konstruksi, dan bandingkan dengan himpunan yang diperkecil atau instrumen yang dilipat bila relevan.

Sampel kecil, momen yang hampir kolinear, estimasi kovarians buruk, parameter pada batas, serta identifikasi lemah dapat merusak tafsir buku teks. Kondisi seperti itu menuntut analisis sensitivitas dan inferensi alternatif yang sesuai, bukan klaim mekanis bahwa J “lulus”. Jika pemilihan model melibatkan banyak instrumen, rentang lag, faktor, atau pemotongan sampel, catat pencarian tersebut dan jangan menyajikan hasil paling menguntungkan seolah sudah ditentukan sebelumnya.

Beberapa alur kerja panel dinamis melaporkan uji Hansen selisih atau uji C untuk sebagian kondisi momen, seperti blok instrumen tambahan. Secara konseptual, perbandingan model bersarang menanyakan apakah blok tersebut menambah pembatas yang tetap sesuai dengan momen lain yang dipertahankan. Kesimpulannya bergantung pada spesifikasi lainnya; uji ini bukan sertifikat independen bagi setiap instrumen.

Selisih dua statistik J memiliki distribusi acuan hanya jika syarat model bersarang, estimasi, dan kovarians yang relevan terpenuhi. Model pembanding harus menggunakan sampel dan definisi momen yang sebanding, serta pembobotan dan perilaku sampel terbatasnya perlu dipertimbangkan. Daya uji subset juga dapat menurun ketika himpunan instrumen penuh sangat besar. Jika menguji beberapa blok, laporkan keseluruhan perbandingan, bukan hanya hasil yang menguntungkan.

Sebutkan sampel, vektor parameter, definisi momen, jumlah observasi, jumlah dan rank efektif pembatas, serta derajat kebebasan. Nyatakan apakah estimator satu tahap, dua tahap, atau iteratif; bagaimana matriks pembobot diperoleh; struktur kovarians apa yang diizinkan; dan apakah ada penyesuaian sampel terbatas. Laporkan statistik J, distribusi acuannya, nilai p, dan ambang keputusan yang ditetapkan untuk analisis.

Tunjukkan jumlah dan konstruksi instrumen, diagnostik tahap pertama atau relevansi, serta sensitivitas estimasi terhadap perubahan himpunan momen yang wajar. Jelaskan alasan waktu ekonomi dan eksklusi yang membuat instrumen dapat dipertahankan; jangan menggantinya dengan hasil uji overidentifikasi yang tidak menolak. Jika menggunakan uji subset, jelaskan subset dan pembandingnya. Lihat panduan endogenitas dan variabel instrumental untuk asumsi IV dan panduan galat baku robust dan HAC untuk pilihan kovarians.

Teori asimtotik GMM Hansen (DOI), uji variabel instrumental Sargan (DOI), analisis identifikasi lemah Stock dan Wright (DOI), kajian instrumen berlebih Roodman (DOI), analisis varians dua tahap sampel terbatas Windmeijer (DOI), dan estimator kovarians HAC Newey–West (DOI) membahas bagian yang berbeda dari rancangan ini. Hasil tiap karya berlaku di bawah asumsi yang dinyatakan, bukan sebagai persetujuan umum atas suatu model empiris.