Rumus Feynman–Kac untuk Penetapan Harga Opsi Dijelaskan
Pelajari bagaimana Feynman–Kac menghubungkan PDE penetapan harga linear dengan ekspektasi bersyarat yang didiskontokan, termasuk generator, arus kas, numerik, dan limit
Jawaban langsung
Rumus Feynman–Kac merepresentasikan solusi PDE parabolik linear yang sesuai sebagai ekspektasi bersyarat sepanjang lintasan difusi. Dalam keuangan, rumus ini mengubah persamaan penetapan harga menjadi ekspektasi arus kas terminal dan berjalan yang didiskontokan
Generator difusi menetapkan evolusi lokal
Misalkan dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s, dan definisikan generatornya Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
Generator merangkum perubahan bersyarat infinitesimal dari fungsi mulus atas state
Ia menghubungkan model lintasan dengan persamaan diferensial tanpa menyatakan bahwa lintasan yang tidak terdiferensialkan di mana pun itu sendiri memiliki turunan biasa
PDE mundur dimulai dari kondisi terminal
Pertimbangkan ∂_t u + Lu - r u + f = 0 dengan nilai terminal u(T,x) = g(x)
Di sini g adalah payoff terminal, r adalah tingkat pembunuhan atau diskonto, dan f adalah sumber berjalan yang tandanya mengikuti konvensi PDE yang dinyatakan
Karena data terminal diketahui pada T, valuasi berjalan mundur meskipun difusi state berkembang maju
Ekspektasi bersyarat memberikan representasi
Di bawah kondisi regularitas dan integrabilitas, u(t,x) sama dengan ekspektasi bersyarat atas g(X_T) yang didiskontokan ditambah f terakumulasi yang didiskontokan
Dengan D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv), representasinya adalah E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
Penerapan rumus Itô pada D_{t,s}u(s,X_s) membuat driftnya sama dengan minus suku sumber, yang menghasilkan identitas setelah mengambil ekspektasi
Diskonto adalah bagian dari operator
Tingkat pendek konstan memberikan faktor yang dikenal e^{-r(T-t)}, tetapi tingkat yang bergantung pada state memerlukan integral lintasan
Dividen berjalan, kupon, biaya, atau suku sumber masuk melalui integral waktu, bukan disembunyikan di dalam payoff terminal
Perubahan tanda dalam PDE mengubah representasinya, jadi salin operator, kondisi terminal, dan arah waktu sebagai satu kesatuan
Penetapan harga opsi risk-neutral adalah kasus khusus
Di bawah ukuran penetapan harga yang valid, dinamika aset yang diperdagangkan setelah diskonto menentukan L dan nilai derivatif menyelesaikan PDE penetapan harga terkait
Untuk klaim Eropa tanpa pembayaran berjalan, harga adalah ekspektasi bersyarat atas payoff terminal yang didiskontokan
Black–Scholes adalah salah satu contoh jembatan ini, bukan definisi Feynman–Kac dan bukan bukti bahwa setiap pasar lengkap
PDE dan Monte Carlo menargetkan nilai yang sama
Beda hingga menyelesaikan persamaan mundur pada grid, sedangkan Monte Carlo mengestimasi ekspektasi lintasan maju
Kesesuaian antara implementasi independen merupakan pemeriksaan kuat atas tanda, diskonto, kondisi batas, dan galat sampling
Pilih metode PDE untuk permukaan dan batas berdimensi rendah; pilih simulasi ketika state atau fungsional lintasan membuat grid menjadi mahal
Teorema memiliki syarat dan batas
Pernyataan klasik memerlukan syarat pada koefisien, pertumbuhan, regularitas, integrabilitas, dan keunikan; versi viskositas yang lebih lemah memperluas cakupannya
Pelaksanaan opsi Amerika menciptakan obstacle atau pertidaksamaan variasional, dan masalah pendanaan atau kontrol nonlinear tidak cocok dengan rumus linear biasa
Lompatan mengganti PDE difusi dengan persamaan integro-diferensial, sedangkan ketergantungan lintasan sering memerlukan perluasan state atau metode lain
Pertanyaan umum
Apa yang dikatakan rumus Feynman–Kac secara sederhana?
Rumus ini mengatakan bahwa nilai dari persamaan diferensial tertentu dapat dihitung dengan merata-ratakan hasil proses acak terkait yang telah didiskontokan
Mengapa PDE penetapan harga diselesaikan mundur?
Payoff ditentukan pada jatuh tempo, sehingga nilai terminal diketahui dan nilai saat ini dipropagasikan mundur menuju hari ini
Apakah Feynman–Kac sama dengan penetapan harga risk-neutral?
Tidak. Pemodelan risk-neutral menyediakan ukuran penetapan harga dan generator; Feynman–Kac kemudian menghubungkan PDE linear dan ekspektasinya
Apakah rumus standar ini menetapkan harga opsi Amerika?
Tidak secara langsung. Pelaksanaan lebih awal mengubah kesamaan itu menjadi masalah obstacle atau representasi penghentian optimal