Uji bias tanda dan ukuran Engle–Ng untuk model volatilitas

Model dapat menangkap pengelompokan besar-kecilnya return, tetapi melewatkan perbedaan dampak kejutan terhadap varians berikutnya. GARCH simetris memberi inovasi positif dan negatif dengan besar yang sama dampak varians yang sama. Jika residual terstandarisasi masih berpola berbeda setelah masing-masing tanda, pembatasan itu mungkin terlalu kuat bagi sampel.

Engle dan Ng memperlakukan ini sebagai diagnostik setelah estimasi: apakah tanda inovasi sebelumnya, atau ukurannya dalam cabang negatif atau positif, menjelaskan residual ternormalisasi kuadrat hari ini? Artikel awal mendefinisikan kurva dampak berita dan membandingkan model memakai return saham Jepang harian. Peringkat empirisnya hanya berlaku pada sampel tersebut, bukan semua pasar (Engle dan Ng, 1993).

“Bias” di sini berarti pola sisa yang terkait tanda atau ukuran dan tidak dijelaskan model varians; ini bukan bias statistik dari estimasi parameter. Tentukan dahulu model GARCH, lalu nilai apakah responsnya sesuai dengan tujuan dan sampel.

Tulis return sebagai berikut:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

Di sini \(\mu_t\) adalah mean bersyarat dan \(\epsilon_t\) inovasi setelah model mean diestimasi. \(h_t\) adalah varians bersyarat hasil estimasi; residual terstandarisasi membandingkan inovasi dengan skala varians yang diperkirakan model.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

Jika spesifikasi varians memadai, \(\hat z_t^2\) tidak semestinya secara sistematis lebih besar atau kecil setelah kejutan masa lalu tertentu di luar penjelasan model. Standardisasi menghilangkan skala varians yang diperkirakan, sedangkan residual mentah kuadrat dapat masih menunjukkan pengelompokan volatilitas umum. Tetapkan persamaan mean, definisi residual, varians, sampel, dan satuan sebelum menafsirkan p-value.

Definisikan indikator inovasi sebelumnya yang negatif beserta komplemennya:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

Regressor uji tanda adalah \(S^-\); uji ukuran negatif memakai \(S^-\hat\epsilon\), dan uji ukuran positif memakai \(S^+\hat\epsilon\). Masing-masing menjawab pertanyaan berbeda: apakah tanda saja penting, dan apakah ukuran menambah informasi di tiap cabang? Nyatakan aturan untuk inovasi nol dan satuannya karena koefisien ukuran bergantung pada satuan.

Kurva dampak berita merangkum bagaimana model mengubah inovasi baru menjadi varians bersyarat berikutnya dengan keadaan lain tetap. Kurva GARCH simetris berpusat pada nol; spesifikasi asimetris melonggarkan pembatasan itu. Ini sifat model, bukan respons kausal yang diamati langsung di pasar.

\(\mathbf z_{ot}^*\) adalah vektor turunan ternormalisasi dari varians kondisional yang dipertahankan terhadap parameter pengganggu, yang dievaluasi di bawah hipotesis nol. Ini adalah suku score/turunan dan tidak selalu sama dengan regressor varians mentah. Regresi bantu menambahkan term tanda atau ukuran sambil tetap mempertahankan term tersebut.

Uji tanda menanyakan apakah tanda inovasi sebelumnya membantu memprediksi residual terstandarisasi kuadrat saat ini. Regresi bantu mempertahankan term nol model varians:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Hipotesis nol individual adalah \(b_s=0\). Dengan mempertahankan term lain, indikator tanda menjadi term tambahan yang diuji. Koefisien signifikan menunjukkan perbedaan pola varians residual setelah kejutan negatif dibanding nonnegatif, dengan syarat model yang diestimasi.

Hasil ini tidak berarti return negatif selalu menaikkan volatilitas. Uji tidak mengidentifikasi mekanisme kausal maupun semua respons nonlinear. Penolakan menjadi alasan meninjau model dan data.

Uji ini berfokus pada cabang negatif dan menanyakan apakah ukuran inovasi menjelaskan pola tersisa:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Hipotesis nolnya \(b_-=0\). Karena inovasi bernilai negatif saat indikator satu, tafsir tanda koefisien bergantung pada konvensi tanda dan satuan. Uji menilai apakah ukuran kejutan menambah informasi di luar model varians; bukan membuktikan kausalitas berita buruk atau prediksi lebih baik.

Regressor bantu dapat berkorelasi, sehingga kontribusi tiap term sulit dipisahkan. Baca hasil individual bersama regresi lengkap dan uji gabungan.

Studi terkait membandingkan spesifikasi varians asimetris seperti GJR, tetapi hasil empirisnya terbatas pada data dan asumsi tiap studi (Glosten, Jagannathan, dan Runkle, 1993).

<!-- learn:illustration -->

Uji pasangannya memeriksa cabang inovasi positif:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Hipotesis nolnya \(b_+=0\). Uji ini dapat signifikan meskipun uji tanda tidak: respons mungkin berubah menurut ukuran di satu cabang tanpa perbedaan rata-rata sederhana antara tanda.

“Bias ukuran positif” tidak berarti return positif pasti menaikkan atau menurunkan volatilitas. EGARCH Nelson dan model ambang Zakoian mengizinkan dinamika varians asimetris. Keduanya alternatif untuk dievaluasi, bukan koreksi otomatis atau model yang selalu unggul.

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

Ketiga regressor dapat diuji bersama dalam satu regresi bantu:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Hipotesis nol gabungan adalah \(b_1=b_2=b_3=0\). Dengan term nol model tetap dipertahankan, di bawah kondisi sampel besar LM gabungan dibandingkan secara asimtotik dengan chi-kuadrat 3 derajat kebebasan. Bentuk umum adalah \(LM=M R^2\), dengan \(M\) jumlah baris yang digunakan dan \(R^2\) dari regresi yang ditetapkan. Ikuti persamaan serta aturan sampel terbatas pada implementasi yang digunakan.

Engle dan Ng menyatakan bahwa menghilangkan \(\mathbf z_{ot}^*\) dari regresi gabungan membuat uji konservatif: ukuran uji tidak melebihi tingkat nominal, tetapi dayanya dapat turun.

Contoh hipotetis saja: jika \(M=400\) dan \(R^2=0.012\), maka \(LM=4.8\). Nilai kritis 5% chi-kuadrat dengan 3 derajat kebebasan kira-kira 7.81, jadi di sini hipotesis nol tidak ditolak. Angka ini ilustratif, bukan temuan empiris atau bukti simetri.

p-value kecil menjadi alasan menyelidiki pola residual tertentu, tetapi tidak menentukan model alternatif, membuktikan mekanisme leverage kausal, atau menunjukkan nilai ekonomi ramalan. p-value besar hanya berarti pola yang dipilih tidak terdeteksi dalam sampel ini.

Regressor bantu dapat berkorelasi, khususnya indikator tanda dan term ukuran negatif, sehingga daya uji individual melemah. Ukuran sampel, estimasi, dan spesifikasi yang dipertahankan juga berpengaruh. Menguji banyak aset, model, lag, dan jendela sampel meningkatkan peluang p-value kecil secara kebetulan.

Pencilan, lompatan, perubahan struktural, dinamika mean yang terlewat, atau satuan inovasi yang tidak konsisten dapat mengubah hasil. Catat definisi return, jendela estimasi, konvensi tanda, serta metode inferensi; jelaskan batas pendekatan asimtotik dan pertimbangkan resampling yang sesuai.

ARCH LM menanyakan apakah residual kuadrat tertinggal menjelaskan residual kuadrat saat ini; lihat panduan ARCH-LM. Engle–Ng menguji term tanda dan ukuran cabang tertentu. Ljung–Box menguji autokorelasi residual, pertanyaan yang berbeda.

Setelah penolakan, estimasi model asimetris seperti GJR-GARCH, EGARCH, atau ambang; periksa kembali residual dan nilai ramalan secara terpisah. QLIKE dan galat kuadrat menilai ramalan setelah dibuat, bukan menggantikan diagnostik spesifikasi residual.

Jika ramalan volatilitas digunakan dalam aturan trading, evaluasi di luar sampel dengan biaya, spread, dampak pasar, pembiayaan, dan batas risiko. Uji bias tanda/ukuran bukan sinyal beli atau jual.