Eigenvalue, Eigenvector, dan Faktor Risiko Keuangan

Secara umum, matriks mengubah panjang dan arah vektor. Eigenvector adalah arah khusus yang tetap berada pada garis yang sama setelah transformasi

Eigenvalue menyatakan seberapa besar arah itu diskalakan. Nilai negatif juga membalik orientasi, meskipun eigenvalue kovarians tidak dapat negatif

Panjang eigenvector bersifat arbitrer, sehingga biasanya dinormalisasi menjadi satu. Vektor dan negatifnya merepresentasikan sumbu yang sama

Entri diagonal adalah varians setiap aset, sedangkan entri di luar diagonal adalah kovarians yang menggambarkan pergerakan bersama berpasangan

Matriks kovarians bersifat simetris dan semidefinit positif, sehingga memiliki eigenvalue real dan kumpulan eigenvector ortogonal

Kovarians sampel diestimasi dari observasi. Karena itu, eigenvalue dan eigenvector-nya membawa kesalahan pengambilan sampel, bukan fakta tetap

Proyeksikan return ke eigenvector kovarians satuan, maka varians sampel return yang diproyeksikan sama dengan eigenvalue yang sesuai

Jumlah semua eigenvalue sama dengan trace matriks, yang juga sama dengan jumlah varians setiap variabel

Membagi satu eigenvalue dengan total tersebut memberikan bagian explained variance. Mengurutkan nilainya mengatur arah risiko hasil pemodelan berdasarkan ukuran

Dekomposisi spektral menyatakan kovarians sebagai jumlah arah eigenvector yang diberi bobot oleh eigenvalue

Karena sumbu tersebut tidak berkorelasi, varians portofolio terpisah menjadi setiap eksposur sumbu yang dikuadratkan dan dikalikan eigenvalue sumbu

Ini adalah perubahan koordinat. Sumbu hasil pemodelan yang tidak berkorelasi tidak membuktikan guncangan ekonomi yang mendasarinya independen

Ketika eigenvalue berdekatan, perubahan kecil pada data dapat memutar eigenvector yang bersesuaian secara besar

Jika eigenvalue sama persis, setiap basis ortogonal dalam subruang bersama menghasilkan kovarians yang sama. Vektor individual tidak unik

Penyelarasan tanda, sudut vektor, jarak subruang, dan hasil bootstrap memberikan pemeriksaan kestabilan yang lebih baik daripada perbandingan visual saja

Eigenvalue pertama yang dominan berarti banyak aset berbagi satu arah kuat, sehingga diversifikasi efektif dapat tertinggal dari jumlah kepemilikan nominal

Dimensi efektif meringkas seberapa merata varians tersebar di antara eigenvalue. Portofolio dengan jumlah aset sama dapat memiliki dimensi yang sangat berbeda

Korelasi dapat meningkat saat stres dan memperbesar bagian utama. Estimasi kovarians periode tenang dapat melebihkan diversifikasi saat krisis

Loading PCA adalah eigenvector dari matriks kovarians atau korelasi, dan explained variance berasal dari eigenvalue yang bersesuaian

Beberapa eigenvalue besar dapat mendukung struktur faktor statistik yang bersifat aproksimatif tanpa mengidentifikasi sumber ekonomi faktor tersebut

Factor model menentukan struktur bersama dan residual; eigendecomposition menggambarkan geometri kovarians. Kegunaannya tumpang tindih, tetapi asumsi berbeda

Laporkan definisi return, frekuensi, jendela, data hilang, outlier, pilihan scaling, dan estimator kovarians

Tampilkan spektrum eigenvalue lengkap, bagian kumulatif, vektor utama, dan aturan penyelarasan tanda tanpa memberikan identitas lebih besar daripada dukungan bukti

Bandingkan jendela bergulir, kovarians shrinkage, dan prakiraan risiko out-of-sample. Grafik spektrum yang jelas tidak menghapus error estimasi