DCC-GARCH: Mengestimasi Korelasi Antar Aset yang Berubah dari Waktu ke Waktu

Matriks kovarians bukan sekadar daftar hubungan jangka panjang. Pada waktu keputusan tertentu, investor mungkin memerlukan varians kondisional setiap imbal hasil serta kovarians kondisional setiap pasangan, berdasarkan informasi yang tersedia sampai saat itu. Jika volatilitas dan pergerakan bersama berubah sepanjang waktu, satu matriks yang diestimasi dari seluruh sampel akan mencampur periode tenang, periode penuh tekanan, dan kemungkinan perubahan struktural.

DCC-GARCH adalah salah satu cara membiarkan matriks korelasi kondisional berevolusi sambil menjaga model tetap ringkas. Makalah Robert Engle tahun 2002 mengajukan spesifikasi dynamic conditional correlation yang menggabungkan model volatilitas univariat dengan rekursi korelasi berparameter sedikit (Engle, 2002). Pendekatan ini menanggapi masalah skala praktis: model kovarians tak terbatas memerlukan semakin banyak parameter seiring bertambahnya jumlah aset.

Metode ini berguna ketika pertanyaannya adalah bagaimana dependensi kondisional berubah setelah volatilitas tiap seri diperhitungkan. Metode ini tidak menjelaskan mengapa aset bergerak bersama. Untuk pengantar varians yang berubah pada satu seri, lihat panduan pengelompokan volatilitas dan GARCH. Untuk korelasi pasangan valas dan batas penafsirannya sebagai eksposur bersama, lihat panduan korelasi pasangan forex.

Misalkan \(r_t\) adalah vektor imbal hasil untuk \(N\) aset dan \(\mu_t\) adalah rata-rata kondisionalnya. Inovasinya ditulis \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\). DCC memecah matriks kovarians kondisional sebagai berikut:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

di mana \(\mathcal{F}_{t-1}\) adalah informasi yang tersedia sebelum waktu \(t\), \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) berisi simpangan baku kondisional, dan \(R_t\) adalah matriks korelasi kondisional.

Setiap \(\sigma_{i,t}^2\) dapat dimodelkan dengan persamaan univariat keluarga GARCH. Contohnya,

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Model marginal ini menjawab bagaimana skala inovasi aset \(i\) berubah mengikuti riwayatnya sendiri. Model itu tidak menyatakan bahwa korelasi dengan aset \(j\) juga berubah. Sebaliknya, perubahan \(R_t\) tidak dengan sendirinya berarti volatilitas salah satu aset sedang meningkat.

Kovarians menggabungkan kedua pengaruh tersebut:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

Kovarians dapat meningkat karena volatilitas marginal satu atau kedua aset naik, meskipun \(\rho_{ij,t}\) tetap. DCC berupaya mengestimasi perubahan waktu dalam korelasi kondisional yang tersisa setelah variasi marginal dipisahkan. Inilah perbedaan utama dari memodelkan setiap GARCH secara terpisah lalu menganggap kovarians imbal hasil mentah tetap.

Setelah rata-rata kondisional dan varians marginal diestimasi, bentuk inovasi terstandarisasi:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Jika model marginal memadai, setiap komponen \(z_t\) seharusnya memiliki varians kondisional yang kira-kira satu. Komponennya tetap dapat saling bergantung pada waktu yang sama; pola bersama inilah yang digunakan untuk memperbarui korelasi. Standardisasi mencegah pergerakan mentah yang besar pada aset yang memang bergejolak tinggi langsung dianggap sebagai bukti dependensi yang lebih kuat daripada kejutan terstandarisasi yang sebanding pada aset lain.

Dalam praktik, residual terstandarisasi adalah besaran yang diestimasi, bukan kebenaran yang diamati langsung. Model rata-rata yang buruk dapat menyisakan struktur yang dapat diprediksi dalam \(\epsilon_t\); model volatilitas yang buruk dapat menyisakan perubahan skala dalam \(z_t\). Keduanya dapat terserap ke tahap korelasi dan mendistorsi \(R_t\). Ekor tebal, pencilan, tanggal yang hilang, jam perdagangan yang tidak selaras, aksi korporasi, serta harga basi juga memengaruhi residual masukan.

Engle dan Sheppard menjelaskan pendekatan dua tahap: estimasi GARCH univariat, lalu estimasi parameter korelasi dari residual terstandarisasi (Engle dan Sheppard, 2001). Pemisahan estimasi marginal membuat DCC lebih praktis. Namun, hasil korelasi tahap kedua harus dibaca dengan mempertimbangkan spesifikasi tahap pertama dan cara seri masukan disejajarkan.

Rekursi DCC standar terlebih dahulu memperbarui matriks bantu positif definit \(Q_t\):

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

Di sini \(\bar Q\) adalah matriks jangka panjang inovasi terstandarisasi, \(a\) mengatur seberapa kuat pergerakan bersama terbaru memengaruhi pembaruan, dan \(b\) mengatur persistensi dari \(Q\) sebelumnya. Pada spesifikasi skalar DCC yang umum, jika \(a,b\ge0\), \(a+b<1\), serta \(\bar Q\) dan \(Q_0\) definit positif, rekursi standar menghasilkan matriks yang tetap definit positif. Stasioneritas ketat dan inferensi yang valid tetap bergantung pada keseluruhan model serta asumsinya. Batasan ini berlaku pada spesifikasi yang dipilih, bukan jaminan universal untuk semua variannya.

Umumnya elemen diagonal \(Q_t\) tidak sama dengan satu, sehingga \(Q_t\) bukan matriks korelasi. Definisikan \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\), lalu normalkan:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

Hasilnya memiliki diagonal satu dan elemen luar diagonal berupa korelasi kondisional tanpa skala. Kovarians kondisional diperoleh dari \(H_t=D_tR_tD_t\). Membedakan \(Q_t\), \(R_t\), dan \(H_t\) membantu menghindari kekeliruan umum: rekursi memperbarui matriks dependensi bantu, normalisasi menghasilkan korelasi, dan simpangan baku marginal mengembalikan korelasi itu ke skala imbal hasil aset. Peran normalisasi ini merupakan bagian inti metode Engle (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- Ilustrasi konseptual tanpa teks: aliran imbal hasil dengan rentang volatilitas yang berbeda tersambung ke pita dependensi bersama yang berubah halus; bukan data pasar atau ramalan. -->

Dalam implementasi dua tahap yang umum, pertama-tama estimasikan rata-rata kondisional dan varians keluarga GARCH univariat untuk setiap aset. Gunakan hasilnya untuk menghitung \(z_t\), kemudian estimasikan parameter DCC dari bagian korelasi suatu likelihood atau quasi-likelihood. Likelihood Gaussian pada tahap pertama kadang dipakai sebagai quasi-maximum likelihood meskipun imbal hasil tidak Gaussian, dengan syarat regularitas tertentu terpenuhi. Namun, galat baku dan inferensinya harus sesuai dengan estimator serta asumsi yang benar-benar dipakai.

Pemisahan tahap lebih praktis secara komputasi dibandingkan mengestimasi seluruh sistem GARCH multivariat tanpa pembatasan. Namun, ketidakpastian estimasi marginal memengaruhi residual terstandarisasi dan hasil tahap kedua. Estimasi \(a\) atau \(b\) bukan pengukuran langsung atas konstanta pasar yang tidak berubah. Penafsirannya bergantung pada sampel, model marginal, inisialisasi, asumsi distribusi, dan kestabilan dinamika korelasi.

Masukan jangka panjang \(\bar Q\) sering didasarkan pada kovarians sampel residual terstandarisasi, tetapi definisi dan koreksi persisnya beragam. Implementasi perlu menjelaskan cara mengestimasi \(\bar Q\), menginisialisasi \(Q_0\), menangani pengamatan yang hilang, menerapkan batasan, serta menghitung likelihood. Optimisasi di dekat \(a+b=1\), \(\bar Q\) yang nyaris singular, atau cakupan aset yang terlalu besar dapat menimbulkan ketidakstabilan. Laporkan diagnostik konvergensi dan uji sensitivitas terhadap spesifikasi marginal serta jendela yang wajar.

Untuk transaksi bertanda waktu tidak teratur, masukan imbal hasil tersinkronisasi pada DCC standar mungkin tidak tepat tanpa rancangan sampling yang jelas. Estimator lain mungkin diperlukan untuk menangani pengamatan nonsinkron; lihat panduan kovarians Hayashi–Yoshida. Penyusutan target kovarians yang berisik, seperti pada panduan penyusutan kovarians Ledoit–Wolf, juga merupakan langkah terpisah dan bukan rekursi korelasi dinamis DCC.

Pertimbangkan dua inovasi terstandarisasi dan satu pembaruan DCC rekaan. Ambil \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), serta \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). Angka ini dibuat hanya untuk menunjukkan aritmetika, bukan estimasi dari data pasar. Pembaruan elemen silang adalah

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Untuk menunjukkan normalisasi, anggap nilai diagonal rekaan adalah \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) dan \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). Rekursi yang sama menghasilkan

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

Karena itu, korelasi yang dinormalkan adalah

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

Elemen luar diagonal bantu naik dari 0.30 menjadi 0.35, tetapi korelasi yang dilaporkan sekitar 0.34 karena diagonal \(Q_t\) juga berubah. Menyebut \(q_{12,t}=0.35\) sebagai korelasi akan melewatkan normalisasi ini. Perhitungan tersebut hanya menunjukkan satu langkah rekursi; tidak menyatakan signifikansi statistik, persistensi di masa depan, bobot portofolio optimal, atau nilai perdagangan.

DCC standar ringkas karena parameter respons dan persistensi skalar yang sama biasanya diterapkan pada semua pasangan. Pembatasan ini berguna untuk banyak aset, tetapi terlalu kuat bila pasangan berbeda menyesuaikan diri dengan kecepatan berbeda. Label DCC juga perlu dijelaskan karena parameterisasi, batasan, metode estimasi, dan konvensi inisialisasi dapat berbeda.

Penelitian DCC terkoreksi oleh Aielli menunjukkan bahwa estimator DCC konvensional dan penafsiran parameter korelasinya dapat bermasalah saat dimensi lintas aset menjadi besar, lalu mengajukan cDCC dengan rekursi yang dimodifikasi (Aielli, 2013). cDCC bukan nama lain bagi DCC standar. Perbedaan ini penting ketika sistem diperluas ke banyak aset atau koefisiennya ditafsirkan secara struktural.

Spesifikasi asymmetric generalized DCC menangani kemungkinan bahwa kejutan terstandarisasi positif dan negatif memengaruhi korelasi mendatang secara berbeda. Model AG-DCC Cappiello, Engle, dan Sheppard mengizinkan parameter dampak berita dan pemulusan per seri, serta asimetri kondisional dalam korelasi (Cappiello, Engle, dan Sheppard, 2006). AG-DCC lebih fleksibel daripada rekursi DCC standar dengan skalar bersama, sehingga jumlah parameter, batasan, dan penafsirannya juga berubah. Jangan diam-diam menggantinya dengan DCC standar atau menganggapnya lebih unggul tanpa evaluasi.

Hasil \(R_t\) yang diestimasi menggambarkan korelasi kondisional menurut frekuensi data, jendela sampel, spesifikasi rata-rata, model volatilitas marginal, dan varian DCC yang dipilih. Hasil ini tidak mengidentifikasi penularan kausal. Korelasi yang naik saat pasar turun dapat berkaitan dengan berita bersama, perubahan komposisi, likuiditas, kesalahan spesifikasi volatilitas, atau mekanisme lain; estimasi itu sendiri tidak dapat membedakannya.

Untuk pengukuran risiko, bandingkan ramalan kovarians dinamis dengan tolok ukur yang masuk akal seperti kovarians sampel bergulir atau model korelasi konstan. Pada setiap awal ramalan gunakan hanya informasi yang tersedia saat itu, samakan cakupan aset dan horizon, serta laporkan fungsi kerugiannya. Jika hasil dipakai untuk portofolio, ikuti perubahan bobot, konsentrasi, turnover, pembiayaan, dan biaya transaksi. Dalam model risiko tertentu, korelasi lebih tinggi mungkin mengurangi manfaat diversifikasi, tetapi bukan ramalan bahwa harga kedua aset akan turun.

Periksa apakah korelasi tetap dalam batas valid, apakah \(R_t\) yang tersirat tetap positif definit, dan apakah residual terstandarisasi marginal masih menunjukkan autokorelasi atau varians yang berubah. Uji sensitivitas terhadap pilihan aset, inisialisasi, pencilan, jendela, dan varian model. Persistensi yang mendekati satu dapat membuat estimasi lambat merespons perubahan rezim; rekursi yang halus juga dapat tertinggal saat terjadi pergeseran mendadak. Jika membandingkan banyak pasangan atau varian, nyatakan kriteria pemilihan dan pertahankan perbandingan di luar sampel agar tidak hanya menonjolkan hasil yang menguntungkan.

DCC-GARCH paling tepat dipahami sebagai model kovarians kondisional yang ringkas: persamaan marginal mengestimasi skala yang berubah, rekursi dependensi mengikuti pergerakan bersama inovasi terstandarisasi, dan normalisasi mengubah matriks bantu menjadi korelasi. Matriks estimasian dapat membantu analisis risiko bila asumsinya jelas dan ramalannya dievaluasi. Matriks itu sendiri tidak membuktikan lindung nilai yang stabil, menjelaskan penyebab kejutan, atau menunjukkan bahwa strategi akan menghasilkan imbal hasil.