Penetapan Harga Opsi Fourier Carr–Madan Dijelaskan

Carr–Madan dimulai dengan fungsi karakteristik risk-neutral untuk log harga terminal dan fungsi harga call Eropa di seluruh log-strike

Metode ini menyusun ulang ekspektasi diskonto yang sama di ruang Fourier, tempat perhitungan mirip konvolusi menjadi perkalian dan integral biasa

Metode ini tidak memilih volatilitas, lompatan, atau premi risiko; semuanya masuk melalui fungsi karakteristik yang spesifik terhadap model

Ketika log-strike k menuju minus tak hingga, call mendekati wilayah intrinsik yang mirip forward dan tidak integrabel di seluruh k

Mengalikan C(k) dengan e^{αk} untuk α positif yang sesuai membuat fungsi yang didamping meluruh pada kedua ujung di bawah kondisi momen yang diperlukan

Parameter damping adalah perangkat analitis, bukan preferensi pasar atau parameter model tambahan untuk dikalibrasi

Di bawah konvensi umum, transformasi Fourier dari e^{αk}C(k) menggunakan fungsi karakteristik log harga pada u−i(α+1)

Penyebut dari payoff call yang ditransformasikan memuat α dan frekuensi u; tanda berubah jika konvensi Fourier atau definisi log harga berubah

Pergeseran kompleks memerlukan E[S_T^{α+1}] hingga, sehingga α yang terlalu besar dapat keluar dari domain momen model

Integral dapat dievaluasi secara terpisah untuk setiap strike, sedangkan FFT mengevaluasi deretan log-strike yang berjarak teratur dalam satu operasi

Dengan N titik, jarak frekuensi η dan jarak log-strike λ memenuhi relasi resiprokal yang umum ditulis λη=2π/N

Rentang strike yang lebih lebar berarti jarak yang lebih kasar untuk N tetap, sehingga cakupan dan resolusi tidak dapat dipilih secara independen

Pemotongan integral frekuensi tak hingga menciptakan galat ekor, sedangkan diskretisasinya menciptakan galat kuadratur

Perluasan periodik yang tersirat dalam transformasi diskret menciptakan aliasing, dan strike di luar grid menambah galat interpolasi

Bobot Simpson dapat memperbaiki kuadratur dalam beberapa pengaturan, tetapi tidak menyembuhkan rentang yang tidak memadai, momen yang tidak valid, atau fungsi karakteristik yang tidak stabil

Alpha harus cukup besar untuk memberi damping pada payoff tetapi cukup kecil agar fungsi karakteristik yang digeser ada dan tetap stabil secara numerik

Pilihan yang baik bergantung pada jatuh tempo, parameter model, perilaku ekor, dan konvensi transformasi; satu alpha universal tidak dijamin

Uji suatu interval nilai alpha yang admissible dan minta harga yang selaras dalam toleransi target, bukan mengoptimalkan satu keluaran

Pulihkan harga Black–Scholes terlebih dahulu, lalu uji paritas put–call, monotonisitas strike, konveksitas, batas, dan kondisi martingale

Naikkan N, rentang integrasi, dan presisi secara terpisah untuk mengidentifikasi konvergensi, bukan mengubah semua kendali sekaligus

Bandingkan strike terpilih dengan kuadratur langsung dan metode penetapan harga lain; kecepatan penting hanya setelah anggaran galat dipahami