弱工具變數診斷：第一階段 F 與穩健推論

工具變數方法利用被排除工具變數 \(Z\) 所預測的內生解釋變數 \(X\) 的變動，同時控制納入的控制變數 \(W\)。

如果 \(Z\) 無法解釋 \(X\) 剩餘變動的多少，數據就很難從這個來源取得結構效應的資訊。

工具變數關聯性弱時，有限樣本中的 2SLS 可能偏向 OLS，其抽樣分佈亦可能明顯偏離常態近似。因此，即使標準誤看似精確，常規 Wald 信賴區間的涵蓋率仍可能欠佳。

Staiger 和 Stock 建立弱工具變數漸近理論，解釋這些失效情況，並提出使用非標準信賴區域的理由（1997 年論文）。

強度只是識別的一部分。第一階段強，並不能證明 \(Z\) 與結構誤差獨立，亦不能證明 \(Z\) 只透過 \(X\) 影響結果。

工具變數指南會分開討論這些假設和所識別的效應。

對於一個內生解釋變數和 \(q\) 個被排除工具變數，第一階段可寫成

\[ X_t = W_t'\delta + Z_t'\pi + v_t. \]

其中 \(W_t\) 包含納入的外生控制變數，通常亦包括截距；\(Z_t\) 則包含被排除工具變數。標準第一階段 F 檢驗 \(H_0:\pi=0\)，即被排除工具變數在控制 \(W_t\) 後，整體上沒有增加解釋力這項聯合限制。

這是條件關聯性的問題，並非檢驗排除限制或獨立性。請列明納入了哪些控制變數、檢驗多少個被排除工具變數、使用的樣本和協方差假設，以及採用哪個統計量。

有多個被排除工具變數時，單一係數的 t 統計量不能取代聯合檢驗。

偏 \(R^2\) 衡量扣除 \(W\) 的影響後，已殘差化的被排除工具變數能解釋 \(X\) 剩餘變動的比例。

以 \(R^2_p\) 表示偏 \(R^2\)，\(n\) 表示樣本數，\(k\) 表示納入的迴歸項數目（如有使用截距，亦計算在內），\(q\) 表示被排除工具變數的數目。

在常規同方差線性迴歸計算下，增量 F 統計量為

\[ F = \frac{R^2_p/q}{(1-R^2_p)/(n-k-q)}. \]

分子衡量每個被排除工具變數限制帶來的配適度改善；分母則利用第一階段完整的殘差自由度估計殘差變異數。這條公式並非所有穩健統計量通用的恆等式。

穩健協方差估計量會改變檢驗的計算方式及參考分佈。

偏 \(R^2\) 和 F 相關，但回答不同的描述性問題：偏 \(R^2\) 是無單位的配適度指標，F 則亦受樣本數和限制數目影響。

在非常大的樣本中，偏 \(R^2\) 即使很小，F 仍可能很大；但這不代表每一種有限樣本 IV 近似都可靠。

常見的 10 是經驗法則，而非判定合格與否的定理。Staiger 和 Stock 在特定弱工具變數框架下，把它視為實用參考；它不能保證所有樣本、估計量、工具變數數目或誤差過程都能得出有效推論。

Stock 和 Yogo 根據 2SLS 相對偏誤上限或 Wald 檢驗大小扭曲上限來界定工具變數弱度，並為所選準則列出臨界值。因此，臨界值取決於所選準則和模型維度。

他們有關常規第一階段和 Cragg–Donald 統計量的結果，假設誤差同方差且互相獨立。

表格中的數值不能不作調整便套用到所有穩健設定（作者托管的章節頁面）。

F 高於 10 不能證明排除限制、獨立性或因果解讀成立。F 低於 10 亦不能證明工具變數無用或特定估計無效。

應在列明的假設下把統計量當作診斷，再選擇符合研究設計的推論方法。

Hansen J 檢驗指南說明過度識別檢驗為何不能代替強度評估。

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若內生解釋變數多於一個，分開計算的第一階段 F 可能會漏掉識別較弱的線性組合。

每個解釋變數單獨看來或許都能被預測，但工具變數帶來的變動未必涵蓋估計所有結構係數所需的組合。

在同方差線性 IV 設定下，Cragg–Donald 最小特徵值統計量概括這種聯合識別資訊。Stock–Yogo 對應的臨界值針對已列明的偏誤或檢驗大小扭曲準則。

假設非常重要：出現任意異方差、序列相依或群組聚類後，常見臨界值不會自動繼續有效。

被排除工具變數的數目、內生解釋變數的數目，以及第一階段係數矩陣的秩，都會影響結果。請交代完整設定並使用專為該設定設計的檢驗；不要把個別第一階段 F 平均後，便當作聯合強度的證據。

金融觀測值可能有異方差、序列相依，或按公司、交易場所或政策單位聚類。第二階段標準誤採用群組聚類，不會令經典第一階段 F 或 Cragg–Donald 校準自動變得穩健。

對單一內生解釋變數，Montiel Olea 和 Pflueger 提出 effective-F 弱工具變數檢驗；在其列明的條件下，該檢驗容許異方差、自相關和群組聚類。

它利用協方差資訊調整常規第一階段 F，再與特定準則的臨界值比較（2013 年論文）。

effective F 並不等同軟件報告的所有穩健 Wald F 數值。

Kleibergen–Paap rk Wald F 經常配合穩健協方差估計量報告，但 Stock–Yogo 臨界值是為不同的常規統計量和假設推導。不要假設兩者使用相同的校準尺度來比較。

請報告估計量、統計量、協方差估計量、聚類層級或依賴處理方式，以及臨界值所依據的框架。

Newey–West 或 cluster-robust 協方差估計在其假設下處理抽樣不確定性；單靠它不能修復弱識別。

對單一內生解釋變數模型中的候選係數值 \(\beta_0\)，先建立按該候選值調整後的結果 \(Y-X\beta_0\)，再檢驗控制納入變數後，被排除工具變數能否整體解釋該結果。

在虛無假設和工具變數外生性成立時，這是檢驗 \(\beta=\beta_0\) 的 Anderson–Rubin 檢驗。

由於檢驗不需要除以估計的第一階段係數，其有效性不必依賴該係數夠大。

原始 Anderson–Rubin 建構採用模型的分佈假設；實際應用時，協方差估計量和參考分佈亦須符合抽樣設計。「穩健」標籤不代表可忽略群組數目太少或序列相依。

把候選值上的檢驗反轉後，可得信賴集合。資訊不足時，集合可能很闊、互不連通或沒有界限；這反映識別資訊有限，並非軟件出錯。Anderson–Rubin 檢驗的檢驗力亦可能較低。

GMM 過度識別指南處理的是另一個問題，不應被視為弱 IV 穩健係數推論。

原文為 Anderson 和 Rubin（1949）。

假設某個第一階段有 \(n=200\) 個觀測值、\(k=3\) 個納入迴歸項（包括截距）、\(q=2\) 個被排除工具變數，以及偏 \(R^2_p=0.04\)。

按照常規同方差公式，殘差自由度為 \(200-3-2=195\)。

\[ F = \frac{0.04/2}{(1-0.04)/195} = \frac{0.02}{0.96/195} = 4.0625. \]

按這些輸入和假設，計算結果是常規聯合統計量 4.0625。單靠它不能證明工具變數無效、不能決定 Stock–Yogo 特定準則下的結論，也不能確立異方差或群組聚類下的結果。

穩健分析需要使用符合研究設計的統計量和校準方法。

如果在模糊迴歸不連續設計中使用相同的兩個工具變數，第一階段的不連續性便是該設計特有的相關性分析一部分。

上述 F 計算不能代替 RDD 假設、頻寬選擇或符合該設計的推論。

列明內生解釋變數、被排除工具變數、納入的控制變數、樣本、第一階段係數、偏 \(R^2\)，以及準確的強度統計量。

若有多個內生解釋變數，指出聯合統計量及其假設；穩健設定下，應寫明協方差和臨界值方法，不要只寫「F = …」。

若統計量顯示識別偏弱，請報告目標係數的弱 IV 穩健檢驗或信賴集合。說明集合是否有界，以及其形狀如何影響實質結論。

不要只因常規 Wald 區間較容易概括，便用它取代資訊不足的區間。

最後，利用制度及經濟證據論證工具變數的獨立性和排除路徑。相關性診斷、平衡檢查、安慰劑結果和過度識別檢驗可以揭示問題，但不能證明所有假設。

雙重差分設計採用不同的識別假設；第一階段較強不代表它可以代替雙重差分。