檢驗時間序列自相關的 Ljung–Box 檢定

樣本自相關圖可能顯示多個滯後的相依，但逐條閱讀很多柱狀圖會產生多重檢定問題。Ljung–Box 檢定將首 \(h\) 個樣本自相關合併成一個整體統計量。其虛無假設是滯後1至 \(h\) 的母體自相關全部為零；對立假設則是其中至少一個不為零。

Box 和 Pierce 開發了一項整體適合度檢定，用於檢查已擬合的時間序列模型。Ljung 和 Box 修改統計量，改善有限樣本下的近似。「Portmanteau」是指一個統計量概括多個滯後的相關；不代表已檢驗時間序列相依的所有種類。

若檢驗回報序列，問題可能是過去的有符號回報是否留下線性序列相依。若檢驗已擬合的 ARMA 模型，通常是問模型使用指定滯後結構後，殘差是否仍有自相關。兩者相關但用途不同，因此解讀前要指出受檢序列。

令 \(\hat\rho_k\) 為滯後 \(k\) 的樣本自相關，\(n\) 為計算它所用的觀察數，\(h\) 為檢定的最大滯後。Box–Pierce 統計量是

\[ Q_{BP}=n\sum_{k=1}^{h}\hat\rho_k^2. \]

Ljung–Box 調整會按各滯後可用的樣本數加權：

\[ Q_{LB}=n(n+2)\sum_{k=1}^{h}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}. \]

相關被平方，所以正負自相關都會提高統計量。對相同大小的估計相關，調整會較重視可用配對較少的滯後。大樣本下兩個統計量通常會接近；有限樣本下常用 Ljung–Box，因原始研究發現其小樣本近似較佳。

在白噪音虛無假設及檢定的常規條件下，將 \(Q_{LB}\) 與卡方分布比較。未擬合動態參數的原始序列，參考自由度通常是 \(h\)。已估計 ARMA(\(p,q\)) 模型的殘差，常見調整為 \(h-p-q\)，而且結果須為正。這項修正反映擬合殘差動態時用過的參數，並不是所有迴歸都要扣除全部係數的通用規則。積分、季節、受限制或其他特殊模型可能需要不同慣例。參考自由度須配合實際殘差檢定及軟件定義。例如只檢驗至 \(h=4\) 的 ARMA(2,2) 殘差，按常見調整後自由度為零，不能作普通卡方比較。應預先選擇較長滯後範圍或適用於該模型的診斷，不要勉強使用零自由度的參考分布。亦要說明選擇滯後範圍的原因。

假設某個已擬合模型留下 \(n=250\) 個殘差，事先指定的五滯後檢查得到自相關 \(0.10, 0.05, -0.08, 0.02, -0.04\)。Box–Pierce 先將它們平方後相加：

\[ 0.10^2+0.05^2+(-0.08)^2+0.02^2+(-0.04)^2=0.0209. \]

於是 \(Q_{BP}=250(0.0209)=5.225\)。套用 Ljung–Box 權重後為

\[ Q_{LB}=250(252)\left(\frac{0.0100}{249}+\frac{0.0025}{248}+\frac{0.0064}{247}+\frac{0.0004}{246}+\frac{0.0016}{245}\right)\approx 5.31. \]

這個計算還不是 p 值。如果殘差來自 ARMA(1,1) 擬合，常見參考自由度是 \(h-p-q=5-1-1=3\)；原始序列在其虛無假設下則可能用5。自由度選擇會改變上尾機率。所有數值均為示範算術的虛構例子，並非市場觀察或模型結果。

統計量較小表示在所選參考分布下，觀察到的平方自相關並不特別大；不代表相關恰好為零。統計量較大則表示在所選水準下，這組數值較難與虛無假設相符。應檢視哪些滯後和模型特徵造成結果，不要把單一數字當作診斷。

滯後上限 \(h\) 界定檢定問題。只檢驗少數短滯後，可能漏掉較慢的相依，或日資料中的每週模式。增加很多滯後會加入微弱而嘈雜的估計，降低對特定短滯後模式的檢定力，並令結果容易受少數長滯後相關影響。較大的 \(h\) 經 ARMA 調整後亦會留下較少自由度。

按取樣頻率、已知日曆結構、模型用途，以及殘差應不再包含的相依來選滯後。對每日市場數據，交易時段滯後未必等於日曆日滯後。日內數據可能有時段和隔夜效應。季節模型可能需要季節滯後或專門診斷；一個通用截點可能掩蓋結構。

如果試過多個 \(h\)、轉換、資產或模型階數，最後只報最小 p 值，所示顯著性便沒有計入搜尋。解讀診斷前應說明滯後範圍和決策規則，或在推論計劃中處理較廣泛的搜尋。

自相關圖常標示 \(\pm1.96/\sqrt{n}\) 這類近似單一滯後界線。在簡單白噪音模型下，它可協助標出個別樣本相關，但不是所有滯後同時適用的95%區間。逐條查看很多柱會提高至少一條偶然越界的機會。Ljung–Box 檢定則以合併統計量的參考分布，對事先選定的滯後集合提出一個聯合問題。

一個較大的自相關或多個溫和相關都可能推高整體統計量。檢定後要檢視各滯後項 \(n(n+2)\hat\rho_k^2/(n-k)\) 和 ACF 圖。單條柱超出經驗界線不自動等於整體檢定顯著；所有單獨柱都在各自界線內，也不能保證聯合統計量不顯著。


*概念圖比較沒有明顯滯後模式的殘差，與在多個偏移下反覆對齊的殘差；並非實際市場觀察。*

將檢定用於有符號回報，是問截至滯後 \(h\) 的線性自相關是否同時為零。用於已擬合殘差，則是問所選模型是否留下類似的線性相依。拒絕虛無假設可以促使檢查平均數規格、時間安排、市場日曆和殘差圖，但不會指出缺少哪個項目。

即使底層單期回報互不相關，觀察值的定義仍可造成自相關。例如，五個交易時段的滾動回報與下一個五時段滾動回報共享四個每日回報。重疊會機械式地連結相鄰觀察。Ljung–Box 可以正確拒絕這個構造序列的零自相關，但不能證明不重疊的每日回報可被預測。

說明觀察是每日回報、多日滾動回報，還是重疊結果模型的殘差。按經濟問題對齊交易時段日曆、收市時間戳和隔夜區間。如需使用重疊期間，應採用符合該構造的推論方法和參考分布，不能將結果解讀為獨立交易優勢的證據。

即使有符號回報的自相關很小，仍可能存在波幅群聚。平方化殘差會改變問題：平方或絕對值標準化殘差的自相關可表示回報尺度有相依。McLeod 和 Li 研究了 ARMA 擬合後以平方殘差自相關診斷非線性相依的方法。這仍是診斷，不是某個唯一波幅模型的證明。[ARCH-LM 指南](/zh-HK/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained)介紹較針對 ARCH 類相依的檢定，[GARCH 指南](/zh-HK/learn/volatility-clustering-garch-explained)則說明條件方差建模。

零自相關比獨立性弱。序列在已檢驗滯後上相關為零，仍可依賴非線性轉換、條件方差、尾部或市場狀態。單憑 Ljung–Box 統計量也不能判斷常態性、平穩性、因果結構，或扣除執行成本後能否賺取回報。

簡單卡方近似取決於模型、殘差構造、樣本量和參數估計設定。如果先擬合 ARMA 模型，殘差自相關是估計量，而非直接觀察到的創新之間的相關。常見自由度調整是實用的漸近慣例，並非每種規格都保證有限樣本精確。

小樣本、很長的滯後範圍、接近互相抵銷的 AR 和 MA 根、離群值、條件異質變異，或擬合模型族以外的序列相依，都會降低近似可靠度。拒絕可能反映平均數規格錯誤、資料品質問題或不適合的參考分布。未拒絕可能是檢定力不足，或滯後選擇漏掉了關注的相依。

複雜或非標準模型應採用參考分布配合擬合方式的診斷程序，或使用有理據的 bootstrap 並重做估計步驟以評估校準。若關注相依或變動方差，將殘差按獨立同分布方式重抽樣並不會自動有效。說明重抽樣設計，並將模型選擇與最終評估分開。

拒絕後應檢查自相關函數、適用時的偏自相關、殘差時間位置，以及各滯後對 \(Q_{LB}\) 的貢獻。考慮模式是否短暫、季節性、源自遺漏的平均數項，或集中在平方殘差。模型變更應基於合理的規格問題，並以未用來選擇模型的資料評估。

對交易規則而言，樣本內可預測模式不等於可執行優勢。下一步預測必須在下單前可用、通過依時間排序的留出樣本驗證，並計入買賣價差、市場衝擊、佣金、融資、借券和周轉。Ljung–Box 不會檢驗策略淨獲利，也不證明拒絕結果在樣本外持續。

報告觀察定義和數量、受檢序列、轉換、滯後上限、個別自相關或圖表、檢定版本、參考自由度、統計量、p 值及顯著水準。若數據是金融回報，說明如何處理交易時段、缺失值、重疊期間和已擬合的條件方差。讀者才能知道檢定做了甚麼和留下甚麼問題。

Box 和 Pierce 的1970 年論文發展整體殘差自相關統計量。Ljung 和 Box 的1978 年論文提出有限樣本修正。McLeod 和 Li 的1983 年論文研究平方殘差自相關。NIST 的 Box–Ljung 資料總結統計量和殘差自由度調整。相關診斷可參閱[方差比檢定](/zh-HK/learn/variance-ratio-test-random-walk-horizon-scaling-explained)、[ARCH-LM](/zh-HK/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained)及[GARCH 波幅群聚](/zh-HK/learn/volatility-clustering-garch-explained)指南。