卡爾曼濾波對沖比率：配對交易的動態迴歸

固定對沖比率會在形成樣本中擬合一個係數，然後保持不變。動態對沖模型則把截距和斜率視為可隨時間演變的潛在數值。卡爾曼濾波器結合先前的估計與新觀察資訊，遞迴地估計這些數值。

對兩項候選資產，令 \(y_t\) 表示其中一項的對數價格，\(x_t\) 表示另一項的對數價格。變動中的長期迴歸可寫成 \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\)。係數 \(\beta_t\) 描述時點 \(t\) 擬合出的關係；它不會自動成為股數、美元中性倉位或穩定的經濟定律。

此應用採用線性狀態空間模型一般的預測與更新遞迴。Kalman提出遞迴濾波框架，其後的計量經濟學研究將之用於估計隨時間變動的迴歸係數。隨機價差的配對交易是其中一種應用，但交易假設必須與濾波算法分開評估。

定義狀態向量與觀察列向量：

\[ \theta_t= \begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

觀察方程是 \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\)。它表示觀察到的對數價格與潛在截距、對沖係數及觀察雜訊相關。常見的起點是讓兩個係數都遵循隨機漫步：

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

此處 \(Q\) 是係數變動的協方差，\(R\) 是觀察雜訊的方差。令 \(Q=0\) 代表此模型中的係數固定；正值 \(Q\) 則容許係數漂移。亦可採用其他狀態轉移，但每種選擇都會對關係如何變動提出不同假設。

這個簡單設定假設過程擾動及觀察擾動的均值為零、沒有序列相關，而且彼此獨立。這些都是模型假設；價格觀察不會自動符合這些條件。

在 \(t-1\) 結束時，濾波器已有估計值 \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) 和協方差 \(P_{t-1|t-1}\)。隨機漫步狀態方程的預測如下：

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

估計值延續至下一期，不確定性則按容許的係數變動協方差增加。\(P\) 描述指定模型下潛在迴歸狀態的不確定性；它不是配對交易損失的預測，也不是完整的投資組合風險度量。

一步擬合觀察值為 \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\)。使用先驗狀態很重要，因為它是在未看到新 \(y_t\) 時形成的。如果先用同一個觀察值更新係數，再計算殘差，更新過程已將殘差拉向零。

由於 \(H_t\) 包含 \(x_t\)，目前解釋變數的價格會同時影響 \(S_t\) 和增益。斜率不確定性較大時，不同 \(x_t\) 的觀察可能為 \(\beta_t\) 提供不同資訊，不過截距與斜率的協方差亦有影響。將 \(x_t\) 置中或重新縮放會改變截距與係數的單位，因此 \(Q\) 中相應的元素及初始 \(P\) 亦須轉換或重新估計，不能直接照搬。

新觀察到來時，一步預測誤差（即創新）是：

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

創新方差 \(S_t\) 結合預測狀態的不確定性與觀察雜訊。卡爾曼增益和狀態更新如下：

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

增益會將新出現的意外分配為對估計關係的變動，或視為雜訊。增益愈大，估計會愈多地根據這次觀察調整；這不代表關係更可靠。

假設某個虛構濾波器預測 \(\hat\alpha=2.0\)、\(\hat\beta=1.20\)，而 \(x_t=50\)，因此 \(\hat y=62.0\)。如果觀察到 \(y_t=62.8\)，創新就是 \(0.8\)。若模型增益為 \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\)，更新後的截距是 \(2.064\)，斜率是 \(1.2048\)。這些虛構數值只示範計算，並非實證對沖比率，也不是偏離會反轉的證據。

過程雜訊矩陣 \(Q\) 表示迴歸係數在兩次觀察之間容許變動的幅度。\(Q\) 較大通常會提高增益，令估計更敏感。它可以更快跟上真實的關係變動，但亦可能追逐短暫雜訊，令對沖比重迅速改變。\(Q\) 太小會令估計更平滑，卻可能跟不上真實的結構轉變。

觀察雜訊方差 \(R\) 表示關係無法解釋的 \(y_t\) 變動。其他數值不變時，\(R\) 越大，濾波器越不信任每個新觀察。\(Q\) 和 \(R\) 都不是通用的調校常數。其尺度取決於模型使用價格、對數價格或標準化序列，以及所選的取樣間隔。

分析者可用概似估計雜訊參數，或根據訓練期預先指定；但若按最終交易期間調校，便會洩漏結果資訊。初始狀態 \(\hat\theta_{0|0}\) 及其協方差 \(P_{0|0}\) 亦很重要：初始不確定性大，可能造成早期快速調整。請報告初始化、參數估計樣本，以及對合理替代設定的敏感度。

濾波估計 \(\hat\theta_{t|t}\) 使用截至 \(t\) 的觀察。平滑估計在 \(t\) 時可能會使用其後才到達的觀察。平滑有助描述歷史潛在狀態，但當時的交易者無法取得這些未來資訊。

估計 \(Q\)、\(R\)、配對選擇和訊號門檻時也有相同的時間問題。如果只用完整樣本擬合一次，即使係數遞迴本身只向前運算，較早的估計仍會受惠於其後的觀察。模擬即時交易時，只用形成期估計超參數，然後固定或按預先聲明的逐步前推時間表更新；每次持倉決策只採用執行前可取得的資訊。

觀察時間不等於成交時間。如果要用 \(t\) 的收市價計算 \(v_t\)，除非執行流程真的容許，否則回測不能假設在同一收市價成交。應使用下一個可執行報價或可信的執行模型，並計入差價、市場衝擊、費用、借貨和融資成本。

在配對研究中，更新前的創新 \(v_t\) 是相對於先驗擬合關係的意外。除以 \(\sqrt{S_t}\) 便得到模型下的標準化創新，有助比較不同時期、不同估計不確定性下的意外幅度，但不會告訴你應買入或沽出多少資產，也不代表大幅偏離會反轉。

更新後殘差 \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) 是另一個數值，因為它用目前觀察修訂了係數。將這個殘差與更新前的門檻混用，會改變訊號的含義。請清楚定義價差、時間點和門檻，並說明係數是先驗、濾波還是平滑估計。

即使 \(\beta_t\) 是由對數價格估計，轉換成訂單仍需獨立的持倉規則。對數價格權重不會直接指定股數或合約數。價格、合約乘數、貨幣和賬戶限制共同決定美元風險承擔；截距並非可交易資產。係數更新之間的再平衡成本及風險承擔漂移亦很重要。

緩慢漂移的係數可以表示漸進變化，但也可能吸收已經失效的關係。狀態靈活的模型即使沒有穩定的長期均衡，也可能令擬合殘差看來很小。濾波器不會檢驗協整，也不保證殘差平穩。

配對選擇亦很重要。從許多資產中篩選，並保留樣本內殘差最平滑的一對，等於用同一批數據挑選關係並聲稱它穩定。公司行動、過時價格、不同步收市、沽空限制、流動性變動和市場狀態轉換，都可能改變估計狀態，或令理論對沖難以執行。

除了擬合線，也要檢查殘差表現、狀態不確定性、周轉率和係數路徑。使用按時間先後保留的樣本外期間，並與固定比率基準比較。更靈活的估計必須在扣除實際成本後，足以補償額外周轉和估計風險；視覺上平滑並不代表有交易表現。

說明模型使用哪種價格或回報序列、如何轉換、觀察頻率、樣本日期，以及迴歸兩邊分別是哪項資產。列出觀察方程、狀態方程、轉移矩陣、\(Q\)、\(R\)、初始化、估計方法，並註明報告的是濾波狀態還是平滑狀態。

報告交易結果時，定義訊號所用的創新或價差、標準化方法、決策時間戳、下單延遲、持倉大小、再平衡規則和所有執行成本。交代配對篩選、訓練與測試期間、雜訊參數如何重新調校，以及結構轉變或觀察缺漏後策略如何運作。固定係數與動態係數應在相同的時間序列分割下比較。

Kalman的線性濾波論文建立了遞迴框架。Hatanaka研究了部分係數隨時間變動的迴歸。Elliott、van der Hoek和Malcolm提出了配對交易的隨機模型。相關主題可參閱[卡爾曼濾波的預測與更新](/zh-HK/learn/kalman-filter-prediction-update-finance-explained)、[配對交易中的協整與相關](/zh-HK/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[Johansen秩檢定](/zh-HK/learn/johansen-cointegration-rank-trace-max-eigenvalue-explained)及[方差比檢定](/zh-HK/learn/variance-ratio-test-random-walk-horizon-scaling-explained)指南。