預測組合：等權與估計權重

預測組合將兩個或更多針對同一數量的預測合成為一個預測。如果模型 A、B、C 都預測明天實現的變異數，可以對預測值取平均，也可以分配不同權重。組合後的數值是一個新預測，而不是對哪個模型正確的投票。

各輸入必須在目標、預測時點、期限、單位和信息截止時間上保持一致。不能僅因為都被稱為波動率，就直接平均一個單日變異數預測和一個月度波動率預測。應先定義共同的量和區間，再對齊預測。

當多個合理模型刻畫序列的不同特徵，或無法確定哪個模型會持續表現最好時，組合預測可能有用。各模型不必採用完全不同的算法。對組合而言，關鍵在於它們的誤差如何共同變化，而不是模型名稱聽起來有多不同。

Bates 和 Granger 的早期應用發現，在航空旅客數據示例中，組合預測的均方誤差可以低於兩個組成預測各自的誤差。這為檢驗組合方法提供了理由，但不保證它在其他市場、目標、時期或損失函數下有所改善（Bates 和 Granger，1969）。

對於 (K) 個預測，等權組合為

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,EW} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

每個組成預測貢獻相同。該規則不需要用訓練樣本估計權重，而且容易復現。即使最終方法會估計或約束權重，它仍是有用的基準。

等權不表示所有預測同樣準確、相互獨立或對經濟決策同樣重要。它只表示組合程序不根據過去表現單獨估計權重。如果所有輸入都遺漏同一個因素，等權預測仍可能繼承共同偏差。

模型名稱的數量不能衡量信息多樣性。三個波動率模型可能使用相同的收益序列、交易時段邊界和採樣間隔，也可能同時遺漏隔夜變動。取平均不會自動彌補這一遺漏。應檢查存檔的樣本外誤差是否存在有用差異，不要因為標籤不同就假定證據彼此獨立。

假設三個模型對下一交易時段的波動率預測分別為 12、15 和 20 個基點。等權預測為 \((12+15+20)/3=15.67\) 個基點。這個算式只展示了如何形成組合；單個預測時點無法說明該規則是否準確或有盈利能力。

對於波動率，要確認輸入是變異數還是標準差。先平均三個變異數預測再開平方，通常不等同於直接平均標準差預測。後續評分時應使用一致的目標定義和單位。

估計權重的線性組合可以寫成

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,C} = \sum_{k=1}^{K} w_k \widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

一種常見的理論結果假設每個預測誤差的均值為零、預測目標一致且權重之和為一。令 \(\Sigma_e\) 表示組成預測誤差的協變異數矩陣。如果該矩陣已知且可逆，則在這些約束下使變異數最小的權重為

\[ w^{*} = \frac{\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}} \]

該公式是參考點，並不是讓人去求逆含噪聲的樣本協變異數矩陣。實際中，\(\Sigma_e\) 是根據有限的預測誤差存檔估計的。高度相關的輸入可能令矩陣接近奇異，因此數據的細微變動就可能造成權重的大幅變化。

對於誤差變異數均為 \(\sigma^2\) 的兩個預測，其等權平均的變異數為 \(\sigma^2(1+\rho)/2\)，其中 \(\rho\) 是誤差間的相關係數。如果每個誤差變異數為 4 且相關性為零，平均後的變異數為 2；如果相關性為 0.90，變異數則為 3.8。平均可以降低多少變異數取決於誤差的共同變化，而不是模型名稱。這一計算針對誤差變異數；如果組成預測有偏，均方誤差還包括偏差平方。

另一種做法是用存檔中的組成預測回歸實際觀測目標，通常也加入截距。Granger 和 Ramanathan 討論了權重之和不必為一的線性回歸方法。截距和不受約束的權重可以調整訓練樣本中的平均偏差，但結果的解釋也會變化：這些系數是擬合出的預測調整項，不一定是類似投資組合份額的權重（Granger 和 Ramanathan，1984）。

在評估前確定約束。非負且總和為一的權重會形成凸組合，使結果落在最小和最大組成預測之間。允許負權重或截距可能使結果超出該範圍。這有時適合校准預測，但對變異數等必須非負的目標可能不合適。

假設三個模型對同一下一時段目標分別預測 12、15 和 20 個基點。僅根據更早預測時點估計的加權規則給出 0.50、0.30 和 0.20 的權重，則組合預測為

\[ 0.50(12) + 0.30(15) + 0.20(20) = 14.5\ \text{個基點} \]

權重非負且總和為一，因此這是凸組合，結果位於各組成預測之間。它與 15.67 個基點的等權結果不同，只是因為權重不同；這並不能說明加權預測更好。

時點 \(t\) 的權重只能根據當時已經知道結果的預測誤差來估計。在歷史回測中，時點 \(t\) 的 14.5 個基點預測可以使用截至 \(t\) 時可用的信息，不能使用 \(t+1\) 或之後才實現的目標。

目標觀測到之後，應記錄各組成預測、組合預測、實際值或代理值以及損失函數。在之後的預測時點重復此過程，可以在共同日期上比較規則，但一個演算示例仍不是持續優勢的證據。

已知總體誤差協變異數時的最佳權重，與從短樣本估計出來的權重並不相同。估計會帶來額外的不確定性。組成預測相似時，誤差可能高度相關；優化過程可能利用歷史上的細小差異，而這些差異未必持續。

Kang 的模擬和宏觀經濟預測應用發現，組合權重可能不穩定，而在其考察的情形中，簡單平均在實踐中可能表現更好（Kang，1986）。Timmermann 的綜述討論了估計誤差、模型不穩定和誤差依賴對預測組合的影響（Timmermann，200601004-9)）。

之後關於預測組合悖論的分析指出了同一個有限樣本問題：針對固定“最優”權重推導出的結論，在權重本身也需要估計時未必仍然成立（Claeskens 等，2016）。這些發現並不證明等權總是勝出，而是說明更複雜的加權規則必須在樣本外比較中證明價值。

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可考慮從等權開始、限制輸入數量、將估計權重向等份收縮，或施加簡單約束。每種選擇都在靈活性與估計噪聲之間權衡。應使用訓練數據選擇並報告規則，不要看過最終測試期後再挑最有吸引力的版本。

存檔中的每個組成預測都應當能在所標注的預測時點實際生成。只用當時可用的數據重新構建各模型，並保存預測時間戳、模型版本和目標定義。樣本內擬合值不能代替真實的歷史預測，因為模型可能用到了當時尚未知的觀測值。

按目標和預測時點對齊存檔。每一行中的組成預測應針對同一未來區間，訓練信息也必須在同一決策時刻截止。估計組合前應處理或明確說明缺失預測；悄然改變輸入集合會使權重在不同日期代表不同含義。

將權重估計與最終評估分開。滾動預測起點流程可以只用 \(t\) 之前已觀測到目標的預測來估計權重，在 \(t\) 發出組合，再於目標可見後評分。擴展窗口使用所有符合條件的過去起點；滾動窗口則按預先設定的長度遺忘更早的起點。表現變化時，兩種方法的適應方式不同。

如果在查看留出期後才選擇組成模型、轉換方式、預測期限、權重約束或損失函數，該留出期就已成為模型開發的一部分。應保留新的測試期，或使用嵌套評估，將每一步選擇都限制在訓練數據中。

在相同預測時點、針對同一實際目標，比較等權規則、估計或收縮權重規則以及單個模型預測。報告損失函數和共同樣本。否則，某種方法可能只是因為在更容易的日期或不同目標定義上評分而顯得更好。

損失函數應符合目標和問題。平方誤差對較大偏差施加平方懲罰；絕對誤差對大偏差賦予不同權重。用含噪聲的已實現度量評價波動率預測時，代理變量條件和損失選擇都很重要；[QLIKE 與平方誤差指南](/zh-HK/learn/qlike-vs-squared-error-volatility-forecasts-noisy-proxies-explained)說明瞭這些區別。不要看到哪種方法佔優後才選擇損失函數。

預測比較檢驗有助於判斷觀察到的損失差異是否符合抽樣波動。[Diebold–Mariano 指南](/zh-HK/learn/diebold-mariano-forecast-accuracy-test-explained)介紹了配對損失比較，以及預測誤差重疊或仍有依賴時需要考慮的假設。檢驗結果無法修復前視偏差，也不能證明經濟價值。

如果嘗試了許多模型組合、權重約束或損失規則，並在同一個評估期中保留表現最好的一種，報告的比較也反映了這次搜索。[White Reality Check 指南](/zh-HK/learn/white-reality-check-data-snooping-strategy-backtest-explained)和[回測過擬合概率指南](/zh-HK/learn/probability-of-backtest-overfitting-cscv-explained)討論了從許多交易規則中選擇的問題。它們都不能替代乾淨的預測存檔或預先設計的評估。

驗證設計應反映實際使用的期限。如果每日預測起點對應相互重疊的多日目標，相鄰損失可能互相依賴。估計不確定性時應考慮這種依賴，不要把大量重疊行當成同樣數量的獨立實驗。

組合之前先確認各模型預測的對象。條件均值、變異數、分位數和完整概率分布是不同的預測對象。對點預測做線性平均不會自動產生校准良好的密度預測或可靠的尾部風險估計。

對於變異數等嚴格非負的量，應用前應檢查組合值。非負預測的凸平均仍然非負；含負權重或截距的擬合回歸則不一定如此。將負值截為零會改變預測規則，必須在評估前明確規定。

預測數量也很重要。加入較弱或幾乎重復的輸入，可能增加需要擬合的權重數量，卻沒有帶來多少新信息。如果歷史存檔相對於 \(K\) 較短，應優先選擇透明、低維的規則，並展示結論並非由某一個組成預測決定。

組合模型預測與組合交易頭寸不是一回事。統計損失較低，並不能說明使用該預測的策略扣除費用、買賣價差、滑點、市場衝擊和風險限制後會賺得更多。預測構建和使用預測的交易規則需要分別提供樣本外證據。

有用的報告應說明預測目標、期限、單位、組成模型、預測起點時間戳、存檔期間和缺失數據規則。還應說明權重是等權、估計、受約束、收縮處理還是隨時間變化，並交代各項調參選擇的方式。

在相同評估日期上展示等權基準、選定組合和表現最好的單個預測。列出損失函數、不確定性估計方法以及對重疊目標的處理。如果權重在不同窗口間大幅變化，應呈現這種不穩定性，而不只是最終權重。

最後，把經驗結論與決策結論區分開。“在此樣本和此損失函數下，該組合的平均損失較低”比“組合預測改善交易”範圍更明確，也更容易復現。前者可以用保存的預測存檔檢驗；後者還需要策略、執行假設和單獨的評估證據。