預測包容性檢定：一個預測是否包含另一個的資訊？

假設兩個預測針對同一個未來目標。在指定的線性或計量經濟學設定中，如果 B 沒有在 A 以外提供有助預測的資訊，就稱 A 包容 B。這個概念與預測組合有關：如果加入 B 的額外權重無法改善 A，為了這個預測目標便未必需要把 B 納入組合。

「包容」結論取決於所用資料、預測期、預測起點、資訊集及組合限制。它不代表 B 對其他目標、預測期、資訊條件或時段都沒有價值。Chong 和 Hendry 提出以可觀察到的預測評估計量經濟模型的包容性，即使研究者無法取得另一模型的內部細節。{source:chongHendry1986ForecastEncompassing}

配對比較 f_{A,t} 與 f_{B,t} 時，兩者須預測同一目標 (y_t)、使用同一預測期及同一預測起點。每一列的資訊截止時間都要一致；任何一個預測都不可使用當時尚未公布的資料。檢查單位、日曆、資料版本、缺失值規則及共同評估日期。

保存當時實際可以產生的預測，而非全樣本擬合值。宏觀數據可能會追溯修訂；金融市場的交易時段界線和時間戳亦很重要。若目標定義或樣本日期不同，組合係數就會把這些差異與預測資訊混在一起。

把評估期和模型選擇期分開。在同一個「測試集」上反覆調整預測變數、預測期、視窗和轉換方式，會令它成為訓練過程的一部分。先訂好規則再評估，並記錄重要的模型變更。

定義 A 的預測誤差為 e_{A,t}=y_t-f_{A,t}，預測差為 d_t=f_{B,t}-f_{A,t}。候選組合預測可寫成：

f_{C,t}=f_{A,t}+w d_t

當 w=0 時就是 A；當 w=1 時就是 B；中間值則混合兩者。組合預測的誤差為 e_{A,t}-w d_t，所以迴歸 e_{A,t}=\alpha+w d_t+u_t 提供一個直觀理解：在獨立處理 A 的平均偏差後，B−A 的差異能否在線性上解釋 A 的誤差。

在含截距的總體迴歸中，斜率 w 等於 Cov(e_A,d)/Var(d)，前提是 Var(d)>0。因此，H_0:w=0 表示容許固定偏差後，A 的誤差與預測差之間沒有線性關係。若迴歸不含截距，零斜率條件是 E[e_A d]=0；只有當 E[e_A]=0 或 E[d]=0 時，才等同零協方差。聯合檢定 α=0 和 w=0 還要求 A 的平均偏差為零，因此比單獨檢定斜率更嚴格。各項程序在其他限制、對立方向和不確定性估算上也可能不同。

一般 OLS 迴歸估算的 w 不一定介乎 0 至 1，也可能是負數或大於 1。有些方法會預先限制權重，這會改變可用的組合範圍和所檢定的假設。

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在含截距的迴歸中，d_t 的總和為零。因此斜率分子是 Σ[d_t × (e_A,t − mean(e_A))] = 16.4，分母是 Σ[d_t²] = 42。

因此 ŵ = 16.4 / 42 ≈ 0.3905。在這個小樣本中，按該權重構成的線性組合會由 A 向 B 移動約 39%。這只是六列資料的 OLS 斜率計算，並沒有提供可靠的不確定性或 p 值，也不能證明該權重適用於未來預測。統計推斷需要另行訂明檢定設計。

要回答 A 是否包容 B，一個基本線性問題是：在說明截距如何處理後，d_t 的係數是否為零。如果事前要檢查任一方向的新增線性關係，可用雙尾對立假設；若在預先指定的程序中某一方向具有明確含意，也可用單尾對立假設。請註明 d=f_B-f_A 的符號慣例；交換相減次序會改變係數符號。

未達顯著不代表預測等價，也不證明 A 較佳。樣本可能太短、兩個預測可能非常接近，或檢定效力不足。若要證明兩者在實務上相差甚微，須預先訂出可接受差距和等價性檢定程序，而非只是不拒絕 (H_0)。

無條件推斷會把整段評估期的新增資訊取平均；條件推斷則問新增價值會否隨預測時已知的資訊而變。看過結果後才挑選工具變數或市場狀態，會引入新的模型選擇問題。

RMSE（均方根誤差）是均方誤差（MSE）的平方根，因此按 RMSE 排名與按 MSE 排名相同。

Diebold–Mariano 檢定比較兩個預測在共同日期上的配對損失差平均值，並按指定損失函數檢驗預期準確度是否相同。包容性檢定則問一個預測能否為線性組合提供有用的新增資訊。B 的 RMSE 較低本身並不能回答包容性問題；整體損失排名與增量資訊是不同特性。

Clark–West 調整用於比較巢狀模型的 MSPE，並考慮虛無假設下額外參數估算造成的雜訊；它不是適用於所有情況的包容性檢定公式。預測組合介紹等權、估算權重或受限制權重等產生最終預測的規則。包容性檢定可協助判斷某個成分有否帶來新增資訊，但不會自動替你選出最佳組合。

Mincer–Zarnowitz 檢定把實際值迴歸於截距和預測值，以檢查水平與斜率校準。它檢查單一預測是否與實際值校準，並非比較 A 是否包容 B。{source:harveyLeybourneNewbold1998ForecastEncompassing}

存在時間相依時，假設觀察值互相獨立的標準誤可能會造成誤導。對於有序列相依的矩，可考慮 Newey–West 的異質變異及自我相關一致（HAC）協方差估算，但設定須符合預測設計 {source:neweyWest1987}。某些設定還需要專用臨界值；沒有任何方法可以自動套用。請交代預測期、核函數和頻寬、遞歸或滾動視窗的重新估算方式，以及有否採用有限樣本修正。

Harvey、Leybourne 和 Newbold 指出，基於 OLS 的自然包容性檢定在預測誤差非正態時，其虛無分布並不穩健；他們也討論較穩健的替代檢定。因此，即使 OLS 斜率看似明確，也不代表可自動使用標準常態臨界值。{source:harveyLeybourneNewbold1998ForecastEncompassing}

若預測來自巢狀線性模型，統計量分布可能有別於非巢狀的一般情況。Clark 和 McCracken 研究巢狀線性模型的一步預測中，準確度相等及包容性檢定的漸近與有限樣本特性，並為其設定提供臨界值；不能未經論證就套用到其他設計。West 另行研究預測依賴估算迴歸係數時的檢定，因為參數不確定性會影響統計量分布。{source:clarkMcCrackenNestedForecasts2001} {source:west2001EstimatedForecastsEncompassing}

交代目標、預測期、預測起點、資訊截止時間、共同評估區間、產生每個預測的模型，以及缺失預測的處理方法。列出 (e_A)、(d) 和組合預測的公式；說明有否截距、權重限制、單尾或雙尾假設，以及有條件或無條件推斷。

亦要交代參數估算、預測期重疊、標準誤算法、參考分布、預測數目和曾嘗試的其他設定。除了檢定結果，展示權重及其不確定性，並在同一組日期上列出平均損失和 RMSE。不要把結果說成因果、等價、盈利或未來優勢的證明。