巢狀預測的 Clark–West 檢驗：公式、例子與限制

假設一個受限模型以常數預測下月回報，而較大模型再加入一個估值比率。只要把新增係數設為零，便會還原受限模型，因此受限模型包含在較大模型之中。即使該係數的真實值是零，估算它仍可能把樣本雜訊帶入較大模型的預測。因此，即使兩個模型在總體中有相同的預測資訊，較大模型的平均平方預測誤差（MSPE）仍可能較高。

Clark–West 調整旨在處理巢狀預測樣本外 MSPE 比較中的這種估算雜訊，並檢驗較大模型在該設計中有否比受限基準模型提供更多預測價值。這比 Diebold–Mariano 檢驗指南所述的一般配對損失比較更具體；DM 的常用參考分佈並不會自動適用於巢狀模型。Clark 與 McCracken 研究巢狀預測準確度及 encompassing 檢驗不同的漸近和有限樣本特性；Clark 與 West 則提出 MSPE 調整程序及近似推論。Clark 與 McCracken（2001）00071-9)；Clark 與 West（2007）。

受限模型和較大的替代模型必須預測同一個目標 yₜ₊ₕ。較大模型須包含受限模型作為特例，通常是把一個或多個新增係數設為零。變數較多、模型較複雜或樣本內配適較好，本身都不能證明兩者巢狀。

在每個預測起點，只使用當時可取得的資訊產生兩個預測。按時間次序以訓練視窗估算模型，再於較後的評估期檢驗。兩者須對齊目標、預測期、單位、預測起點和實際結果。遞迴重估或滾動視窗都可能合適，但要說明採用的方法，並保留每個起點實際產生的預測。若反覆查看評估期來挑選預測變數、轉換方法或預測期，評估期也就參與了模型選擇。CAViaR 指南說明，尾部分位數預測需要以適合其目標的損失函數評估，不應不加區分地併入均值預測比較。

Clark–West 調整不能修正前視偏誤、樣本不一致、把事後修訂數據當成當時已知，或未披露的模型搜尋。請報告初始估算視窗、預測起點數目、預測期、數據版本，以及滾動或遞迴更新方式。

令 f₀,t+h 為受限模型的預測，f₁,t+h 為較大模型的預測，而 eⱼ,t+h = yₜ₊ₕ − fⱼ,t+h 為第 j 個預測誤差。採用平方損失時，每期的 Clark–West 調整差異為：

dCW,t+h = (e₀,t+h)² − [(e₁,t+h)² − (f₀,t+h − f₁,t+h)²]

這等於受限模型的平方誤差減去較大模型的平方誤差，再加上兩個預測之間距離的平方。最後一項估算零假設下估計新增參數所帶來的額外預測雜訊。Clark 與 West 建議在比較前，從較大模型的樣本 MSPE 扣除這項預測差距調整。Clark 與 West（2007）。

對 P 個共同評估起點的調整差異取平均：mean(dCW) = (1/P) Σ dCW,t+h。若結果和預測以基點計量，平方誤差及差異的單位是 bp²。依上述符號慣例，調整後平均值為正便傾向較大模型。這是調整後的比較分數，並非較大模型的實際 MSPE，也不是可直接用於交易的預測。

Clark–West 通常檢驗巢狀較大模型的預期 MSPE 是否低於受限基準模型。零假設表示新增模型部分沒有改善預測；單尾對立假設則支持較大模型。按上述公式，調整後平均值相對於標準誤足夠大而為正，才支持該對立方向。

以調整後損失表示，工作假設為 H₀: E[dCW] = 0，對比 H₁: E[dCW] > 0。正方向來自先取受限模型的損失。若倒轉相減次序，符號也會反轉，所以報告時要一併說明符號慣例。

檢驗統計量通常是 dCW 的樣本平均值除以其估算標準誤。Clark 與 West 建議在其研究的設計中採用近似正態單尾檢驗，並按情況使用一般或自相關穩健標準誤。West（1996）發展了對樣本外預測和誤差之平滑函數矩的推論，亦包括預測依賴估算參數的情況。p 值取決於巢狀關係、預測生成方式、目標、損失函數和抽樣假設；它不是較大模型為真的機率，也不是因果證據。

設四個假設實際值以基點計為 [0, 1, −1, 0]。受限模型的預測為 [−1, 0, 0, 0]，巢狀較大模型則為 [−1.5, 0.5, −0.5, 0.5]。受限模型的平方誤差是 [1, 1, 1, 0]，平均 MSPE 為 0.75 bp²。較大模型的平方誤差是 [2.25, 0.25, 0.25, 0.25]，平均 MSPE 同樣是 0.75 bp²。

預測差異的平方 (f₀ − f₁)² 是 [0.25, 0.25, 0.25, 0.25]。代入 e₀² − e₁² + (f₀ − f₁)²，調整差異為 [−1, 1, 1, 0] bp²，平均值為 0.25 bp²。原始 MSPE 相同，但調整後的平均值為正，因為校正已計入較大模型的估算雜訊。

這四期只用來示範計算，遠不足以可靠估算不確定性或判定統計顯著性。調整後平均值為正本身並不能證明真實的預測優勢；所有數值都是假設值，並非市場觀察數據。

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即使是單期預測，目標、預測變數或估算視窗隨時間變動，也可能令調整損失差異出現序列相關。多期預測視窗互相重疊時，相鄰預測起點會共用實際結果。若標準誤把所有起點都視為獨立，可能低估不確定性。

應根據抽樣設計，從調整差異序列估算標準誤；條件合適時，可使用同時對異質變異和自相關穩健的長期變異估計。Clark 與 West 指出，預測誤差有自相關時應使用自相關穩健標準誤。請說明預測期、協方差估計量、所用核函數和頻寬，以及重抽樣方法（如有）。區塊自助法指南解釋依賴時間序列的重抽樣為何要保留次序結構；一般自助法不會自動實現 Clark–West 零假設。

所需的依賴性處理視乎設計而定。較長預測期、持續性目標、反覆估算參數和波幅改變，都可能造成超出簡單重疊模式的依賴。應比較合理的推論設定並解釋，而不是只選擇 p 值最小的一種。

巢狀模型預測檢驗的零分佈可能並非標準分佈，尤其在估算和評估樣本同時增長時。Clark 與 McCracken 顯示，巢狀預測的準確度相等及 encompassing 檢驗，在漸近和有限樣本方面均有別於非巢狀比較。Clark 與 West 為其研究設計下有用的近似正態推論提供理據，但這並不保證任何有限樣本都準確。Clark 與 McCracken（2001）00071-9)；Clark 與 West（2007）。

評估樣本較小、新增參數很多、基準模型設定錯誤、按數據選擇預測變數，以及選用滾動或遞迴估算，都會影響檢驗大小與檢驗力。如果樣本或設計與文獻所分析的情況差異很大，應考慮合適的臨界值或謹慎設計的模擬／自助程序。報告兩個樣本的大小，並說明 p 值採用的參考分佈。

Diebold–Mariano 檢驗在一般配對損失框架下，檢驗兩個預測的預期損失是否相同。Clark–West 調整適用於平方誤差比較，前提是一個模型包含另一個模型，而額外參數估算會在零假設下扭曲原始 MSPE 差異。沒有理據時，不要把它套用到非巢狀模型。DM 原文容許多種損失指標，也討論誤差不必服從正態分佈或互相獨立的情況。兩者有關，但並非同一檢驗。Diebold 與 Mariano（1995）。

兩種檢驗都不能解決反覆嘗試多個目標、預測期、基準模型和預測變數造成的選擇問題。若最終比較來自廣泛搜尋，請記錄完整候選集合，並使用針對搜尋層面問題的方法。White Reality Check 和 Hansen SPA 指南介紹對搜尋過的交易規則家族進行推論。

在所述假設下，顯著的單尾結果表示較大模型對該目標和評估設計降低了預期平方誤差。它不能證明因果關係、訊號持續穩定或策略有盈利。評估盈利能力還需要獨立的交易規則、未用於模型選擇的評估數據，以及對買賣差價、費用、滑點、市場衝擊、融資和風險限額的現實假設。

列出受限模型和較大模型、確立巢狀關係的限制、目標、預測期、單位、估算視窗、預測起點安排、評估日期和共同樣本規則。說明參數如何重新估算，以及如何保存每個預測時點可用的資訊和數據版本。

報告兩個原始 MSPE、Clark–West 調整差異的平均值、符號慣例、標準誤、單尾對立假設、參考分佈或臨界值、p 值和依賴性估計方法。同時披露新增參數數目、樣本大小、嘗試過的模型，以及評估期有否影響設計。這些資料讓讀者分辨嵌套模型調整檢驗和一般預測比較，並判斷尚存的不確定性。