ETF追蹤差異與追蹤誤差：誤差為零也可能跑輸指數

本文討論一般指數追蹤基金，不評價主動管理基金是否應貼近指數。請使用文件列明的準確單位類別及基準，而非名稱相似的知名指數。

準備基金資產淨值（NAV）總回報及對應指數的回報序列。計算差距前，先統一貨幣、開始與結束日期、估值時間及派息處理。

派息類別支付收入時，未調整的NAV可能下跌。總回報序列會反映派息；只看未調整淨值圖表，不能量度同一投資結果。

[Investor.gov派息說明](https://www.investor.gov/introduction-investing/general-resources/news-alerts/alerts-bulletins/investor-bulletins/fund-distributions-investor-bulletin)解釋了這種價值轉移。

[Vanguard追蹤指標說明](https://www.vanguard.co.uk/professional/vanguard-365/investment-knowledge/etf-knowledge/what-affects-index-tracking)區分回報差距的大小與波動。

本文把追蹤差異（TD）定義為同一期間基金總回報減去基準總回報。負數表示基金跑輸。解讀提供者的數值前，先核對其相減方向。

假設一年內指數回報8.00%，基金回報7.70%。TD = 7.70% − 8.00% = −0.30個百分點，即−30個基點。1個基點等於0.01個百分點。

兩筆假設投資都由10,000開始，期末分別值10,800及10,770。基金落後30個貨幣單位。本例沒有計入個人稅項、買賣費用或外來資金。

這不是30%的差距，也不等於10,770 ÷ 10,800 − 1 ≈ −0.2778%。後者以指數的期末資產作分母，是另一種比較。

多個期間應先各自複合基金與指數的回報，再相減對應的累積回報。把每月百分點差加起來，通常不等於累積TD。

假設一個每月回報恰好為0%的虛構基準。以下數字是為了分開說明算術而設定，並非真實ETF業績或預測。

A的差距從未改變，所以樣本追蹤誤差是零。但相比這個橫行基準，A每月仍然蝕錢。沒有波動，不代表沒有回報差距。

B的平均月度差距相同，卻在平均值上下移動，因此追蹤誤差為正。即使尚未換算成年率，兩個指標已在回答不同問題。

• 基金A每月回報：−0.10%、−0.10%、−0.10%、−0.10%。
• 基金B每月回報：−0.30%、+0.10%、−0.30%、+0.10%。
• 兩者月度回報差距的算術平均均為−0.10個百分點，即−10個基點。

把每段相同期間的基金回報減去指數回報記為a_t。先計帶正負號差距的平均，再求樣本標準差：s = sqrt(sum((a_t − 平均(a))^2) ÷ (n − 1))，其中觀察數目n大於1。

[NIST離散程度說明](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda356.htm)解釋樣本方差的分母。本例用n − 1；重現公佈數字時，要記錄提供者的實際算法。

B的差距以基點表示是−30、+10、−30、+10。平均為−10，所以相對平均的偏差是−20、+20、−20、+20個基點。

偏差平方和為1,600基點²。除以3後開平方，得到s ≈ 每月23.0940個基點，以月度回報單位表示為0.230940%。

採用一般的時間平方根換算，年率TE = s × sqrt(12) = 80個基點，即0.80%。12是每年的月數，並非這個例子只有四個觀察值的樣本數目。

這種換算假定方差適當穩定，且沒有序列協方差。差距相關或環境變化會限制其解讀。四個虛構觀察值不能證明真實基金將來的追蹤表現。

計標準差時要保留正負號。計差距絕對值的平均，或先轉成絕對值再計標準差，都會得出另一種統計量。

A的四個月總回報是(0.999)^4 − 1 ≈ −0.3994004%。B是(0.997 × 1.001)^2 − 1 ≈ −0.4001988%。由於基準不變，兩個數也是各自四個月的追蹤差異。

平均都是每月−10個基點，但複合結果略有不同。兩者都不剛好等於−0.40%，亦不等於B的年率追蹤誤差0.80%。

期間起止回報可以求出TD，卻不能重建TE。多條月度路徑可以到達同一終點。請取得有日期的回報資料，而不是從年度差距一個數字虛構波動性。

算術平均與幾何平均回報解釋為何增長因子的連乘，不等於回報相加或取平均。

假設沒有派息，NAV由100升至110，指數也升10%。這段期間按NAV計算的TD是零。

但同一期間你以102買入、109賣出，費用前回報是109 ÷ 102 − 1 ≈ 6.8627%，而非10%。買入溢價與賣出折讓沒有改變NAV回報，卻改變了你的結果。

以上是虛構成交價。實際佣金、買賣差價、兌匯及個人稅項可能造成額外差別。不過，實際成交價已反映的差價影響，不應再當作估計成本扣一次。

[Investor.gov ETF介紹](https://www.investor.gov/introduction-investing/investing-basics/investment-products/mutual-funds-and-exchange-traded-2)分清交易所價格與NAV。

某一刻的溢價或折讓，是市場價格與NAV的比較；追蹤差異是某段期間的回報比較。兩者並非可以互換的指標。

基金費用、買賣、現金持有、抽樣複製，以及收入或稅款入賬時間，都可能影響指數追蹤。單憑一個回報差距，不能確定主要原因。

[Vanguard指數追蹤概覽](https://www.vanguard.ca/en/tools-and-resources/etf-fundamentals/management/index-tracking)亦介紹證券借貸收入等可能抵銷差距的因素。

若公佈的NAV回報已包括基金費用，不要再扣開支比率。TD是觀察結果，不是額外賬單；TE也不是要另外繳付的年度費用。

確認股息採用稅前還是預設扣稅後回報，以及基準有沒有對沖匯率。跑贏稅務或對沖條件不同的指數，不足以證明複製能力較佳。

TD可能是正數，但不能證明超額回報可以重複。應檢查基金的解釋及實際操作，不要假定每項差距都等於宣傳的開支比率。

選擇相同基準及單位類別目標的同類基金。與不同指數比較，量度的不只是追蹤質素，還有投資風險承擔的差異。把以下條件放在數字旁。

事後TE來自實際觀察回報，事前TE來自風險模型。不要把估計列為已實現結果，亦不要用虛構的零回報填補缺失資料。 [!TRYMARK] TryMark ETF追蹤核對 下次審閱基金資料時，以重現基金與指數比較為目標。基準版本、回報日期、派息調整或費用處理改變後，重新計算TD及TE。 [!WARNING] 低追蹤誤差不代表低投資風險 基金與指數可以緊貼同步，但一起大跌。TE不是最大虧損上限或機率保證。追蹤質素之外，要另外查看投資風險承擔與回撤。

收入可參考總回報基準，虧損可參考回撤計算。本文並不推薦任何ETF。

• 準確指數、貨幣、單位類別及收入處理方法。
• 開始與結束日期、NAV或市場價基礎、估值時間。
• TD的正負方向，以及累積或年率回報。
• TE的觀察頻率、樣本長度、分母及年率換算方法。
• 已計入的費用、缺漏資料及基金對差距的說明。