Macaulay, Modified और Effective Duration: अंतर और गणना का उदाहरण

Maturity वह संविदात्मक तारीख है जब मूलधन लौटाया जाना निर्धारित है। Duration कुछ मान्यताओं के तहत नकदी-प्रवाह के समय या कीमत की संवेदनशीलता बताती है। यह maturity का दूसरा नाम नहीं और न ही यह गारंटी है कि निवेशक को चुकाई रकम कब वापस मिलेगी।

अगर स्क्रीन पर केवल “duration” लिखा है, तो जाँचें कि वह Macaulay, modified, effective, money duration या कोई दूसरा माप है। बॉन्ड या पोर्टफोलियो, मूल्यांकन तारीख, yield या curve, compounding convention और price basis पहचानें। CFA Institute, तय नकदी-प्रवाह और बॉन्ड की अपनी yield बदलने वाले yield-based मापों को benchmark curve के अनुसार पुनर्मूल्यांकन करने वाले curve-based मापों से अलग करता है; बाद वाले अनिश्चित नकदी-प्रवाह भी संभाल सकते हैं। {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

Macaulay duration निर्धारित नकदी-प्रवाह मिलने के समय का वर्तमान मूल्य-भारित औसत है। समय t पर CF_t नकदी-प्रवाह, कीमत P और yield y हो, तो भार PV(CF_t)/P है। यदि P मॉडल किए गए सभी नकदी-प्रवाहों के वर्तमान मूल्यों का योग है, तो भारों का योग एक होगा:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

कूपन बॉन्ड की Macaulay duration आम तौर पर maturity से कम होती है, क्योंकि मूलधन लौटने से पहले कूपन मिलते हैं। Zero-coupon बॉन्ड में केवल एक निर्धारित नकदी-प्रवाह होता है, इसलिए बताए गए cash-flow और discounting assumptions के तहत इसकी Macaulay duration maturity तक के समय के बराबर होती है।

यह वर्तमान मूल्य के संदर्भ में औसत समय है, निवेशक की व्यक्तिगत holding period का अनुमान नहीं और न ही कूपन को फिर निवेश करने पर समान yield मिलने की गारंटी। कुछ immunization विश्लेषण इसे उपयोग करते हैं, लेकिन yield परिवर्तन, पुनर्निवेश और मिलान किए जाने वाले दायित्व पर अतिरिक्त मान्यताएँ चाहिए। FINRA भी बताता है कि duration केवल maturity तक का समय नहीं है। {source:finraDurationExplainer}

बिना embedded option वाला काल्पनिक बॉन्ड लें: face value $1,000, सालाना coupon 5%, तीन साल बाकी और सालाना yield to maturity 4%। साल में एक भुगतान, coupon तारीख के ठीक बाद मूल्यांकन और annual compounding मानें। निर्धारित नकदी-प्रवाह पहले साल $50, दूसरे साल $50 और तीसरे साल $1,050 है।

4% पर discount करने से वर्तमान मूल्य लगभग $48.08, $46.23 और $933.45 मिलते हैं; कुल full price लगभग $1,027.75 है। हर वर्तमान मूल्य को कीमत से भाग देने पर भार लगभग 4.68%, 4.50% और 90.82% हैं। अंतिम भुगतान में मूलधन शामिल है, लेकिन पहले दो कूपन औसत समय को पहले खींचते हैं।

समय को भार से गुणा कर जोड़ें: 1 × 4.68% + 2 × 4.50% + 3 × 90.82%, जो लगभग 2.8615 वर्ष है। यह तीन साल की maturity से कम है क्योंकि वर्तमान मूल्य का कुछ भाग पहले मिलने वाले कूपन से आता है। दिखाई गई संख्याएँ rounded हैं; सटीक गणना में unrounded वर्तमान मूल्य लें। {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

Modified duration, बताई गई compounding convention के अनुसार Macaulay को adjust करती है। स्थिर नकदी-प्रवाह, सालाना nominal yield y और वर्ष में m बार compounding वाले सामान्य बॉन्ड के लिए प्रचलित संबंध D_mod = D_Mac / (1 + y/m) है। उदाहरण में साल में एक भुगतान है, इसलिए m=1; 2.8615 / 1.04 लगभग 2.7514 वर्ष है।

बॉन्ड की अपनी yield में छोटे बदलाव पर प्रतिशत कीमत परिवर्तन का first-order अनुमान है ΔP/P ≈ −D_mod × Δy, जहाँ Δy दशमलव रूप में हो। 1 basis point की वृद्धि 0.01 नहीं, 0.0001 है; 100 basis points 0.01 हैं। Modified duration 2.7514 हो तो yield में 1 percentage point की वृद्धि अन्य इनपुट समान रहने पर कीमत में स्थानीय 2.7514% गिरावट का अनुमान देती है। ऋण चिह्न इस मामले में yield और कीमत के स्थानीय उलटे संबंध को दिखाता है।

Modified duration शुरुआती yield के पास की slope है, हर आकार के shock के लिए पूर्ण पुनर्मूल्यांकन नहीं। डॉलर अनुमान के लिए position का market value भी चाहिए। अपनी yield में 1 basis point बदलाव के लिए first-order DV01 का परिमाण अक्सर market value × modified duration × 0.0001 होता है। Sign conventions अलग हो सकती हैं; यह संख्या निश्चित loss limit नहीं। CME इस प्रतिशत संवेदनशीलता को DV01, BPV या VBP नाम की मुद्रा-राशि से अलग बताता है। {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

Effective duration ब्याज-दर परिदृश्यों में full valuation से निकली कीमतों का उपयोग करती है। P₀ शुरुआती कीमत, benchmark curve को Δr घटाने के बाद की कीमत P₋ और उतना ही बढ़ाने के बाद P₊ हो, तो central difference है D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr); Δr दशमलव में है। नतीजे को आमतौर पर तय curve shock पर प्रतिशत कीमत-संवेदनशीलता के वर्षों के रूप में पढ़ते हैं।

जब भविष्य के cash flows ब्याज-दरों के साथ बदल सकते हों, जैसे callable या putable बॉन्ड और mortgage-backed securities, तब यह उपयोगी है। मॉडल हर परिदृश्य में संभावित exercise या prepayment assumptions बदलकर कीमत दोबारा निकाल सकता है। इसलिए परिणाम benchmark curve, shock के आकार व रूप, मॉडल, volatility, cash-flow assumptions और valuation date पर निर्भर है। CFA Institute अनिश्चित cash flows के curve risk के लिए effective duration बताता है; FINRA भी redemption features वाले बॉन्ड में इसे Macaulay और modified से अलग करता है। {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

Effective duration हर स्थिति में अपने-आप “ज़्यादा सही” नहीं होती। यह अलग सवाल पूछती है: तय benchmark-curve scenario में modeled full price कैसे बदलता है? Cash flows स्थिर हों और सवाल बॉन्ड की अपनी yield पर हो, तो modified duration अधिक सीधी हो सकती है। Curve shock में बताएँ कि move parallel है या नहीं और कौन-सी curve ली गई है; option वाले बॉन्ड के लिए cash flows फिर गिनने वाले मॉडल का भी उल्लेख करें।

$1,000 face value वाले बॉन्ड पर लौटें। 4% yield पर कीमत करीब $1,027.75 और modified duration करीब 2.7514 है। Yield 100 basis points बढ़ने पर स्थानीय अनुमान 2.7514% या $28.28 की गिरावट, यानी कीमत लगभग $999.47 है। 100 basis points घटने पर अनुमान $28.28 की वृद्धि से कीमत लगभग $1,056.03 है।

अब नई yield पर निर्धारित नकदी-प्रवाह सीधे discount करें। 5% पर कीमत $1,000 है, लगभग $27.75 या 2.70% कम। 3% पर कीमत लगभग $1,056.57 है, $28.82 या 2.80% अधिक। कीमत-yield संबंध वक्राकार है, इसलिए दोनों दिशाओं के बदलाव बराबर नहीं। अकेली duration स्थानीय अनुमान देती है; convexity बड़े बदलाव में second-order अंतर समझाती है। ये काल्पनिक गणनाएँ स्थिर नकदी-प्रवाह, सालाना compounding और समान मूल्यांकन convention मानती हैं; ये market quote या forecast नहीं। आगे बॉन्ड convexity और price sensitivity देखें।

उदाहरण की Macaulay और modified duration yield-based हैं। Benchmark curve या shock valuation model तय नहीं है, इसलिए effective duration नहीं निकाली गई। उसे पाने के लिए बताए गए curve scenarios के तहत बॉन्ड को फिर से मूल्यांकित करना होगा। नकदी-प्रवाह बदले तो ऊपर और नीचे दोनों scenarios में exercise व prepayment assumptions समान रूप से लागू हों।

निर्धारित नकदी-प्रवाह का वर्तमान मूल्य-भारित औसत समय जानना हो तो Macaulay लें। स्थिर नकदी-प्रवाह वाले बॉन्ड की अपनी yield में छोटा बदलाव होने पर स्थानीय प्रतिशत मूल्य प्रतिक्रिया चाहिए तो compounding convention बताते हुए modified लें। Benchmark curve बदलती हो और cash flow दरों पर निर्भर हो सके तो effective duration देखें। इनमें से कोई भी ब्याज-दर की दिशा नहीं बताता।

Portfolio aggregation आम तौर पर market-value weights और provider की method पर निर्भर है। एक effective duration तय broad curve move को संक्षेप में बताती है पर twists और bends छिपा सकती है; key-rate duration चुनी हुई maturities पर sensitivity दिखाती है। हर basis point की मुद्रा राशि के लिए DV01 और BPV देखें। Credit spread, liquidity, inflation, currency और option risk के लिए अलग विश्लेषण चाहिए हो सकता है; benchmark-rate duration बॉन्ड का पूरा जोखिम नहीं मापती।

बॉन्ड की विशेषताएँ भी मायने रखती हैं। सामान्य option-free fixed-rate स्थिति में अन्य बातें समान हों तो बाद के cash flows duration बढ़ाते हैं; अधिक coupon या yield अक्सर पहले भुगतान का वर्तमान मूल्य-भार बढ़ाकर duration घटाते हैं। Maturity नजदीक आने पर शेष cash-flow profile बदलती है, इसलिए duration स्थिर नहीं होती। दरें गिरने पर call option कीमत की वृद्धि रोक सकता है। Floating-rate note coupon नियमित रूप से reset करता है और समान maturity वाले fixed-rate बॉन्ड से कम rate sensitivity रख सकता है, लेकिन credit spread, reset delay, floor और liquidity risk रहते हैं। ये मान्यताओं के तहत mechanisms हैं, सार्वभौमिक ranking नहीं। {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

दो स्रोत “duration” कहकर अलग माप दिखा सकते हैं। बॉन्ड या पोर्टफोलियो, valuation date, full या clean price, yield या benchmark curve, compounding frequency, shock size, parallel या nonparallel move, option model और cash flows स्थिर रखे गए या फिर गिने गए—सब लिखें। Dollar amounts की तुलना में position size और currency भी समान रखें। कोई input अलग हो तो सीधे तुलना से पहले फर्क समझाएँ।

Price sensitivity expected total return नहीं है। इसमें coupon income, reinvestment, credit migration, spread बदलाव, transaction cost, tax या portfolio बदलाव जैसे वास्तविक return के सभी स्रोत शामिल नहीं। यह तय starting point और model पर निर्भर sensitivity है। Fund fact sheet या analytics screen की method और as-of date देखें तथा contractual terms के लिए prospectus या security documents पढ़ें। कम duration का अर्थ कम कुल जोखिम नहीं, न ही यह भविष्य के नुकसान का अनुमान है। {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}