הסבר על נגזרת רדון–ניקודים בפיננסים

Q רציפה בהחלט ביחס ל-P, ונכתב Q ≪ P, כאשר כל אירוע אפס של P הוא גם אירוע אפס של Q

משפט רדון–ניקודים מספק אז צפיפות אי־שלילית Z = dQ/dP, הייחודית עד כדי קבוצות שהן אפס תחת P

אם P ו-Q שקולות, כל אחת רציפה בהחלט ביחס לאחרת, והן מסכימות אילו אירועים בלתי אפשריים

עבור כל אירוע A, Q(A) = E_P[Z 1_A]. עבור מידות הסתברות, E_P[Z] = 1

ערכים של Z הגדולים מאחד מעלים את המשקל היחסי של תוצאה תחת Q; ערכים הקטנים מאחד מפחיתים אותו

Z אינה נגזרת ביחס לזמן או למחיר. זוהי צפיפות של מידה אחת ביחס למידה אחרת

עבור תמורה X אינטגרבילית, E_Q[X] = E_P[ZX], בכפוף לתנאי האינטגרביליות הנדרשים

זהות זו משנה משקלים, לא את התמורה או את מרחב המדגם. אותה תוצאה X מקבלת ממוצע שונה

כאשר המידות שקולות ו-Z חיובית, מתקיים dP/dQ = 1/Z כמעט בוודאות תחת Q; גם שינויי צפיפות מקיימים כלל שרשרת

במודל מצבים סופי, Z_s = q_s/p_s כאשר p_s חיובי, ולכן q_s = p_s Z_s

זהו אותו היגיון של דגימת חשיבות: דוגמים תחת התפלגות אחת ומתקנים את הממוצע באמצעות יחס הסתברויות

צפיפויות משתנות מאוד מרכזות משקל במעט מצבים ועלולות ליצור אומדי מונטה־קרלו לא יציבים גם כאשר הזהות מדויקת

בהינתן צפיפות סופית Z_T, הגדירו Z_t = E_P[Z_T | F_t]. התהליך הוא מרטינגל P אי־שלילי

תוחלות מותנות מקיימות E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t כאשר Z_t חיובי

הסינון חשוב משום ש-Z_t מתעד את החלק של השקלול הסופי שנראה באמצעות המידע הזמין בזמן t

מודלים לתמחור נכסים מחפשים מידה שקולה Q שבה מחירים נסחרים שמנוכים כראוי הם מרטינגלים או מרטינגלים מקומיים

משפט גירסנוב מתאר כיצד הצפיפות משנה את הסחף הבראוני תוך שמירה על אי־ודאות הדיפוזיה ועל אירועי האפס

עם נומראיר של שוק הכסף, אפשר לכתוב את גורם ההיוון הסטוכסטי כהיוון כפול dQ/dP תחת הנחות מתאימות

Q נייטרלית לסיכון היא מידת תמחור, ולא בהכרח תחזית של תדירויות העולם האמיתי תחת P

צפיפות מוצעת חייבת להיות אי־שלילית, להתאינטגרל לאחד, לכבד את הסינון ולהפוך את הנכסים המהוונים המיועדים למרטינגלים

לפני שימוש בתוחלות שעברו שינוי, דווחו על מידות המקור והיעד, הנומראיר, האופק, מוסכמת הצפיפות, האינטגרביליות והאבחונים המספריים