התפוצצות מומנטים ונוסחת המומנט של Lee: הסבר

עבור מחיר סופי לא־שלילי S_T, מומנט חזקה E[S_T^r] נותן משקל רב למחירים גדולים כאשר r חיובי ולמחירים הקרובים לאפס כאשר r שלילי

שונות סופית עוסקת רק בסדר אחד; התנהגות כנפי האופציות תלויה בגבול של כל המומנטים החיוביים או ההפוכים הסופיים

אלה מומנטים נייטרליים לסיכון במועד פירעון קבוע, לא אומדני מדגם של תשואות פיזיות ולא הבטחות לגבי תדירויות עתידיות

עבור סדר r, הגדירו זמן התפוצצות T_c(r)=sup{t:E[S_t^r]<∞}; במודלים מסוימים T_c(r) סופי עבור ערכי r קיצוניים מספיק

התהליך יכול להישאר מוגדר היטב מסלול אחר מסלול גם כאשר תוצאות נדירות הופכות תוחלת מסדר גבוה לאינסופית

לכן התפוצצות מומנט שונה משונות שנוגעת לאפס, ממצב מדומה שהפך לשלילי או ממסלול נכס שסוטה לאינסוף בזמן סופי

עבור פירעון T, הגדירו p_c=sup{p≥0:E[S_T^{1+p}]<∞} עבור הזנב הימני ו-q_c=sup{q≥0:E[S_T^{-q}]<∞} עבור הזנב השמאלי

p_c גדול יותר פירושו יותר מומנטים חיוביים סופיים וזנב ימני מותר קל יותר; q_c גדול יותר מספק מידע מקביל בסביבת האפס

הערכים הקריטיים תלויים בפירעון, בפרמטרי המודל, במידת התמחור ובמוסכמות של קצה ממשי לעומת קצה לא־ממשי

יהי k=log(K/F_T) ושונות משתמעת כוללת w(k,T)=σ_imp(k,T)²T תחת מוסכמות פורוורד עקביות

תוצאת הכנף הימנית של Lee היא limsup_{k→∞} w(k,T)/k = ψ(p_c), כאשר ψ(x)=2−4(√(x²+x)−x); בכנף השמאלית משתמשים ב-ψ(q_c)

הפונקציה יורדת מ-2 ל-0, לכן פחות מומנטים סופיים מאפשרים כנף אסימפטוטית תלולה יותר, בעוד שיותר מומנטים סופיים כופים כנף שטוחה יותר

הנוסחה עוסקת ב-limsup של moneyness לוגריתמי קיצוני, לא ב-skew המקומי בסטרייקים רשומים או בקו מדויק שמתחיל בחיתוך שנבחר

היא קובעת שיפוע אסימפטוטי מתוך מידע על מומנטים, אך לא את החיתוך, העקמומיות, מהירות ההתכנסות או החיוך בסטרייק סופי

היעדר ארביטראז׳ מספק את המסגרת, אך משטח מעשי עדיין זקוק לעקביות קלנדרית ועקביות butterfly בין סטרייקים ומועדי פירעון

במודל Heston ובמודלים אחרים של תנודתיות אפינית, מומנטים אקספוננציאליים קשורים לפתרונות Riccati מוכללים המוערכים בארגומנטים ממשיים של טרנספורם

פתרון Riccati יכול להתפוצץ עבור סדר מומנט נתון, וכך לאפשר חישוב של זמן ההתפוצצות או המומנט הקריטי מפרמטרי המודל

פונקציית האפיון יכולה להישאר תקפה בתדרים ממשיים גם כאשר הסטה מרוכבת הנדרשת לטרנספורם של אופציה נמצאת מחוץ לתחום המומנטים

חשבו p_c ו-q_c לפי פירעון, אמתו את תנאי המרטינגל בנפרד ובדקו אם הנחתת הטרנספורם נשארת בתוך רצועת המומנטים הסופיים

השוו שיפועי כנף מותאמים לגבולות Lee, לטווחי אופציות מצוטטים, לבדיקות ארביטראז׳ סטטי ולאי־ודאות בפרמטרים במקום לנקודה אקסטרפולטיבית אחת

התייחסו למומנטים קריטיים לא יציבים כראיה לסיכון מודל: שינויי כיול קטנים יכולים ליצור הבדלים גדולים הרחק מעבר לסטרייקים נזילים