מבחן Ljung–Box למתאם עצמי בסדרות עתיות

תרשים של מתאם עצמי מדגמי יכול להציג תלות בכמה פיגורים, אך קריאה ובדיקה של כל עמודה בנפרד יוצרת בעיית ריבוי בדיקות. מבחן Ljung–Box משלב את \(h\) המתאמים העצמיים המדגמיים הראשונים לסטטיסטי כוללני אחד. השערת האפס היא שמתאמי האוכלוסייה בפיגורים 1 עד \(h\) כולם שווים לאפס. ההשערה החלופית היא שלפחות אחד מהם שונה מאפס.

Box ו-Pierce פיתחו מבחן כולל לחוסר התאמה של מודלים מותאמים לסדרות עתיות. Ljung ו-Box שינו את הסטטיסטי כדי לשפר את הקירוב במדגמים סופיים. ״כוללני״ פירושו שסטטיסטי אחד מסכם מתאמים בכמה פיגורים; אין פירוש הדבר שנבדקה כל צורה אפשרית של תלות בסדרה עתית.

בסדרת תשואות, השאלה עשויה להיות אם תשואות עבר עם סימן משאירות תלות סדרתית ליניארית. לאחר התאמת מודל ARMA, השאלה היא בדרך כלל אם נותר מתאם עצמי בשאריות אחרי שהמודל השתמש במבנה הפיגורים שהוגדר. אלה יישומים קשורים אך שונים, ולכן יש לציין איזו סדרה נבדקה לפני שמפרשים את התוצאה.

נסמן ב-\(\hat\rho_k\) את המתאם העצמי המדגמי בפיגור \(k\), ב-\(n\) את מספר התצפיות ששימשו לחישובו, וב-\(h\) את הפיגור המרבי במבחן. הסטטיסטי של Box–Pierce הוא

\[ Q_{BP}=n\sum_{k=1}^{h}\hat\rho_k^2. \]

תיקון Ljung–Box משקלל כל פיגור לפי גודל המדגם הזמין:

\[ Q_{LB}=n(n+2)\sum_{k=1}^{h}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}. \]

מכיוון שהמתאמים מועלים בריבוע, גם מתאם עצמי חיובי וגם שלילי מגדילים את הסטטיסטי. התיקון נותן משקל רב יותר למתאם מוערך באותו גודל כאשר בפיגור יש פחות זוגות תצפיות זמינים. במדגמים גדולים שני הסטטיסטיים מתקרבים לעיתים קרובות; במדגמים סופיים משתמשים בדרך כלל ב-Ljung–Box, משום שהמחקר המקורי מצא שהקירוב שלו במדגמים קטנים טוב יותר.

בהנחת רעש לבן ובתנאי הסדירות של המבחן, משווים את \(Q_{LB}\) להתפלגות כי־בריבוע. עבור סדרה גולמית שלא נאמדו לה פרמטרים דינמיים, דרגות החופש הן בדרך כלל \(h\). עבור שאריות של מודל ARMA(\(p,q\)) שנאמד, התיקון המקובל הוא \(h-p-q\), בתנאי שהתוצאה חיובית. התיקון משקף את הפרמטרים ששימשו להתאמת הדינמיקה של השאריות; הוא אינו הוראה כללית להפחית כל מקדם בכל רגרסיה. מודלים משולבים, עונתיים, מוגבלים או מיוחדים אחרים עשויים לדרוש מוסכמה שונה. התאימו את דרגות החופש להתפלגות הייחוס לפי מבחן השאריות המדויק והגדרת התוכנה. לדוגמה, בדיקת שאריות ARMA(2,2) רק עד \(h=4\) משאירה אפס דרגות חופש לפי התיקון המקובל. אי אפשר לבצע את השוואת הכי־בריבוע הרגילה; בחרו טווח פיגורים ארוך יותר שהוגדר מראש או אבחון המותאם למודל במקום לכפות התפלגות ייחוס עם אפס דרגות חופש. דווחו גם מדוע נבחר אופק הפיגורים.

נניח שמודל מותאם הניב \(n=250\) שאריות, ובבדיקה שנקבעה מראש של חמישה פיגורים התקבלו המתאמים העצמיים \(0.10, 0.05, -0.08, 0.02, -0.04\). חישוב Box–Pierce מתחיל בריבוע ובסכימה:

\[ 0.10^2+0.05^2+(-0.08)^2+0.02^2+(-0.04)^2=0.0209. \]

לכן \(Q_{BP}=250(0.0209)=5.225\). החלת המשקולות של Ljung–Box נותנת

\[ Q_{LB}=250(252)\left(\frac{0.0100}{249}+\frac{0.0025}{248}+\frac{0.0064}{247}+\frac{0.0004}{246}+\frac{0.0016}{245}\right)\approx 5.31. \]

החישוב עדיין אינו ערך p. אם אלה שאריות מהתאמת ARMA(1,1), הייחוס המקובל משתמש ב-\(h-p-q=5-1-1=3\) דרגות חופש. סדרה גולמית עשויה להשתמש בחמש, לפי השערת האפס שלה. בחירת דרגות החופש משנה את ההסתברות בזנב העליון. כל המספרים כאן מומצאים כדי להציג את החשבון, והם אינם נתוני שוק שנצפו או תוצאת מודל.

סטטיסטי קטן פירושו שהמתאמים העצמיים בריבוע שנצפו אינם גדולים באופן חריג לפי התפלגות הייחוס שנבחרה. אין בכך הוכחה שהמתאמים שווים בדיוק לאפס. סטטיסטי גדול מצביע על כך שהקבוצה אינה מתיישבת היטב עם השערת האפס ברמה שנבחרה; בדקו אילו פיגורים ומאפייני מודל תרמו לתוצאה במקום להתייחס למספר היחיד כאבחון מלא.

הפיגור המרבי \(h\) מגדיר את השאלה. בדיקת כמה פיגורים קצרים בלבד עלולה להחמיץ תלות איטית יותר או דפוס שבועי בנתונים יומיים. הרחבת הבדיקה לפיגורים רבים עלולה להוסיף אומדנים חלשים ורועשים, להפחית את העוצמה מול דפוס מסוים בפיגור קצר ולהפוך את התוצאה לרגישה לכמה מתאמים בפיגורים ארוכים. \(h\) גדול גם משאיר פחות דרגות חופש אחרי תיקון ARMA.

בחרו פיגורים לפי תדירות הדגימה, מבנה לוח השנה הידוע, מטרת המודל והתלות שלא אמורה להישאר בשאריות. בנתוני שוק יומיים, פיגור של מושב מסחר אינו תמיד זהה לפיגור של יום קלנדרי. נתוני תוך־יום עשויים לכלול עונתיות לפי שעה והשפעות לילה. מודל עונתי עשוי לדרוש פיגורים או אבחון עונתיים; סף כללי יחיד עלול להסתיר את המבנה הזה.

אם מנסים ערכים רבים של \(h\), טרנספורמציות, נכסים או סדרי מודל ומדווחים רק על ערך ה-p הקטן ביותר, המובהקות המוצגת מתעלמת מהחיפוש. קבעו את טווח הפיגורים ואת כלל ההחלטה לפני פירוש האבחון, או הביאו את החיפוש הרחב יותר בחשבון בתוכנית ההסקה.

תרשים מתאם עצמי מציג לעיתים קרובות גבולות מקורבים לפיגור יחיד, כגון \(\pm1.96/\sqrt{n}\). במודל פשוט של רעש לבן הם יכולים לסייע בסימון מתאם מדגמי בודד, אך אינם רצועת סמך סימולטנית של 95% לכל הפיגורים. בדיקה נפרדת של עמודות רבות מגדילה את הסיכוי שלפחות אחת מהן תחרוג במקרה. מבחן Ljung–Box שואל שאלה משותפת אחת עבור קבוצת הפיגורים שהוגדרה מראש, ומשתמש בהתפלגות ייחוס לסטטיסטי המשולב.

הסטטיסטי המשותף יכול לגדול בגלל מתאם עצמי אחד גדול יחסית או בגלל כמה מתאמים מתונים. אחרי המבחן בדקו את התרומות לפי פיגור \(n(n+2)\hat\rho_k^2/(n-k)\) ואת תרשים ACF. עמודה אחת מחוץ לגבול היוריסטי אינה שקולה אוטומטית לתוצאה מובהקת במבחן הכוללני; וגם שכל העמודות נמצאות בתוך הגבולות הנפרדים אינו מבטיח שהסטטיסטי המשותף אינו מובהק.

החלת המבחן על תשואות עם סימן שואלת אם המתאם העצמי הליניארי שלהן עד לפיגור \(h\) שווה במשותף לאפס. החלתו על שאריות מותאמות שואלת אם המודל שנבחר הותיר תלות ליניארית דומה. דחייה יכולה להצדיק בדיקה של מפרט הממוצע, תזמון, לוח השנה של השוק ותרשימי השאריות; היא אינה מזהה איזה איבר חסר.

הגדרת התצפיות עשויה ליצור מתאם עצמי גם כשהתשואות הבסיסיות לתקופה אחת אינן מתואמות. לדוגמה, תשואה מתגלגלת של חמישה מושבי מסחר והתשואה המתגלגלת הבאה של חמישה מושבים חולקות ארבע תשואות יומיות. החפיפה מקשרת באופן מכני בין תצפיות סמוכות. Ljung–Box עשוי לדחות בצדק היעדר מתאם עצמי בסדרה שנבנתה כך, אך אין בכך להראות שתשואה יומית לא־חופפת הייתה ניתנת לחיזוי.

ציינו אם התצפיות הן תשואות יומיות, תשואות מתגלגלות של כמה ימים או שאריות ממודל לתוצאות חופפות. התאימו את לוח מושבי המסחר, זמני הסגירה ומרווח הלילה לשאלה הכלכלית. אם חייבים להשתמש באופקים חופפים, השתמשו בהסקה ובהתפלגות ייחוס המתאימות לבנייה הזו במקום לפרש את התוצאה כראיה עצמאית ליתרון מסחר.

אשכול תנודתיות יכול להתקיים גם כאשר למתאם העצמי של תשואות עם סימן יש ערך קטן. ריבוע השאריות משנה את השאלה: מתאם עצמי של שאריות בריבוע או של שאריות מתוקננות בערכן המוחלט עשוי להצביע על תלות בגודל התשואות. McLeod ו-Li חקרו מתאמים עצמיים של שאריות בריבוע כאבחון לתלות לא־ליניארית אחרי התאמת ARMA. גם זהו אבחון, ולא הוכחה למודל תנודתיות יחיד וייחודי. מדריך ARCH-LM עוסק במבחן ממוקד יותר לתלות מסוג ARCH, ומדריך GARCH מסביר מודלים לשונות מותנית.

מתאם עצמי אפס הוא תנאי חלש יותר מאי־תלות. סדרה יכולה להציג מתאמים אפסיים בפיגורים שנבדקו ועדיין להיות תלויה בטרנספורמציות לא־ליניאריות, בשונות מותנית, בזנבות או במשטרים. הסטטיסטי של Ljung–Box גם אינו אומר לבדו דבר על נורמליות, סטציונריות, מבנה סיבתי או אפשרות להרוויח מתשואה אחרי עלויות ביצוע.

קירוב הכי־בריבוע הפשוט תלוי במודל, בבניית השאריות, בגודל המדגם ובאופן אמידת הפרמטרים. אם מתאימים תחילה מודל ARMA, המתאמים העצמיים של השאריות הם כמויות מוערכות, ולא מתאמים של חדשנות שנצפתה ישירות. תיקון דרגות החופש המקובל הוא מוסכמה אסימפטוטית מעשית, ולא הבטחה לדיוק במדגם סופי בכל מפרט.

מדגם קטן, אופק פיגורים גדול, שורשי AR ו-MA שכמעט מבטלים זה את זה, חריגים, הטרוסקדסטיות מותנית או תלות סדרתית מחוץ למשפחת המודל עלולים להפחית את אמינות הקירוב. דחייה עשויה לשקף מפרט ממוצע שגוי, בעיית איכות נתונים או התפלגות ייחוס לא מתאימה. אי־דחייה עשויה לנבוע מעוצמה נמוכה או מבחירת פיגורים שהשמיטו את התלות שמעניינת אתכם.

במודל מורכב או לא סטנדרטי השתמשו בהליך אבחוני שהתפלגות הייחוס שלו מתאימה לתהליך ההתאמה, או בחנו את הכיול באמצעות bootstrap מוצדק שחוזר על שלב האמידה. דגימה מחדש של שאריות כאילו היו בלתי תלויות אינה תקפה אוטומטית כאשר החשש הוא תלות או שינוי בשונות. הסבירו את תכנון הדגימה מחדש והפרידו בין בחירת המודל להערכה הסופית.

לאחר דחייה בדקו את פונקציית המתאם העצמי, את המתאם העצמי החלקי כשמתאים, את תזמון השאריות ואת תרומות הפיגורים ל-\(Q_{LB}\). שקלו אם הדפוס קצר־טווח, עונתי, נובע מאיבר חסר במשוואת הממוצע או מרוכז בשאריות בריבוע. שינוי במפרט צריך לנבוע משאלת מפרט שניתן להצדיק ולהיבחן על נתונים שלא שימשו לבחירתו.

בכלל מסחר, דפוס שניתן לחיזוי בתוך המדגם אינו יתרון שניתן לממש. תחזית לשלב הבא חייבת להיות זמינה לפני שליחת ההוראה, לשרוד בדיקה כרונולוגית מחוץ למדגם ולהביא בחשבון מרווח קנייה־מכירה, השפעת שוק, עמלות, מימון, השאלת נכסים ומחזור. מבחן Ljung–Box אינו בודק את הרווח הנקי של אסטרטגיה ואינו מוכיח שתוצאה שנדחתה תימשך מחוץ למדגם.

דווחו על הגדרת התצפיות ומספרן, הסדרה שנבדקה, הטרנספורמציות, גבול הפיגורים, המתאמים העצמיים הבודדים או התרשים, גרסת המבחן, דרגות החופש לייחוס, הסטטיסטי, ערך ה-p ורמת המובהקות. אם הנתונים הם תשואות פיננסיות, ציינו כיצד טופלו מושבי מסחר, ערכים חסרים, אופקים חופפים ושונות מותנית מותאמת. כך הקורא יוכל להבין מה המבחן עשה ומה נותר פתוח.

המאמר של Box ו-Pierce מ-1970 מפתח סטטיסטי כולל למתאם עצמי של שאריות. המאמר של Ljung ו-Box מ-1978 מציע את התיקון למדגם סופי. המאמר של McLeod ו-Li מ-1983 בוחן מתאמים עצמיים של שאריות בריבוע. מקור NIST למבחן Box–Ljung מסכם את הסטטיסטי ואת תיקון דרגות החופש לשאריות. לאבחונים קשורים ראו את המדריכים למבחני יחס שונות, ARCH-LM ואשכול תנודתיות GARCH.