יחס גידור במסנן קלמן: רגרסיה דינמית למסחר בזוגות

יחס גידור קבוע נאמד על מדגם היווצרות ונשאר ללא שינוי. מודל גידור דינמי מתייחס לחותך ולשיפוע כאל גדלים חבויים שיכולים להשתנות עם הזמן. מסנן קלמן אומד אותם באופן רקורסיבי, באמצעות שילוב של האומדן הקודם והמידע שבתצפית החדשה.

לשני נכסים מועמדים, נסמן ב-\(y_t\) את הלוגריתם של מחיר אחד וב-\(x_t\) את הלוגריתם של מחיר האחר. רגרסיית טווח ארוך משתנה ניתנת לכתיבה כך: \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\). המקדם \(\beta_t\) מתאר את הקשר המותאם בזמן \(t\); הוא אינו הופך אוטומטית למספר מניות, לפוזיציה ניטרלית בדולרים או לחוק כלכלי יציב.

יישום זה משתמש ברקורסיית החיזוי והעדכון הכללית של מודל ליניארי במרחב מצבים. Kalman הציג את מסגרת הסינון הרקורסיבי, ועבודות אקונומטריות מאוחרות יותר יישמו אותה לאמידת מקדמי רגרסיה המשתנים לאורך זמן. מסחר בזוגות עם מרווח סטוכסטי הוא שימוש אפשרי אחד, אך יש לבחון את הנחות המסחר בנפרד מאלגוריתם הסינון.

נגדיר את וקטור המצב ואת שורת התצפית כך:

\[ \theta_t= \begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

משוואת התצפית היא \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). היא קושרת את לוגריתם המחיר הנצפה לחותך החבוי ולמקדם הגידור, בתוספת רעש תצפית. נקודת מוצא מקובלת מניחה ששני המקדמים מתפתחים כהילוך מקרי:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

\(Q\) היא מטריצת השונות המשותפת של שינויי המקדמים, ו-\(R\) היא שונות רעש התצפית. כאשר \(Q=0\), המקדמים קבועים במודל הזה; \(Q\) חיובית מאפשרת להם לנדוד. אפשר לבחור מעבר מצב אחר, אך כל בחירה מניחה משהו אחר על התפתחות הקשר.

שימוש ב-\(Q\) אלכסונית מוסיף את ההנחה שהזעזועים בחותך ובשיפוע אינם מתואמים. איברים מחוץ לאלכסון מאפשרים להם לנוע יחד, אך דרוש מדגם עם מספיק מידע כדי לאמוד את השונות המשותפת. מטריצת שונות משותפת תקפה חייבת להיות סימטרית וחיובית למחצה.

המפרט הפשוט מניח שלשגיאות התהליך והתצפית יש ממוצע אפס, שהן אינן מתואמות סדרתית ובלתי תלויות זו בזו. אלה הנחות המודל; תצפיות המחירים אינן מקיימות אותן באופן אוטומטי.

בסוף \(t-1\), יש למסנן אומדן \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) ומטריצת שונות משותפת \(P_{t-1|t-1}\). משוואת מצב של הילוך מקרי נותנת את התחזיות:

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

האומדן מועבר קדימה, ואילו אי־הוודאות גדלה בשונות המשותפת של שינויי המקדמים שהמודל מאפשר. \(P\) מתארת את אי־הוודאות לגבי מצב הרגרסיה החבוי תחת המודל שנבחר. היא אינה תחזית להפסד במסחר בזוג או מדד מלא לסיכון התיק.

התחזית לתצפית צעד אחד קדימה היא \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). חשוב להשתמש במצב הקודם, כי הוא חושב בלי לראות את \(y_t\) החדש. אם מחשבים שארית לאחר עדכון המקדמים באותה תצפית, העדכון כבר משך את השארית לכיוון אפס.

מאחר ש-\(H_t\) מכילה את \(x_t\), מחיר המשתנה המסביר הנוכחי משפיע על \(S_t\) ועל הרווח. כשאי־הוודאות בשיפוע משמעותית, תצפיות ברמות שונות של \(x_t\) עשויות לספק מידע שונה על \(\beta_t\), וגם השונות המשותפת בין החותך לשיפוע חשובה. מרכוז או שינוי קנה המידה של \(x_t\) משנים את משמעות החותך ואת יחידות המקדם. לכן יש להתמיר מחדש או לאמוד מחדש את האיברים התואמים ב-\(Q\) ואת \(P\) ההתחלתית, ולא להעתיק אותם ללא שינוי.

כאשר התצפית החדשה מגיעה, שגיאת התחזית לצעד אחד, או החדשנות, היא:

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

שונות החדשנות \(S_t\) משלבת את אי־הוודאות החזויה במצב ואת רעש התצפית. רווח קלמן ועדכון המצב הם:

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

הרווח מקצה את ההפתעה החדשה בין שינוי הקשר המשוער לבין התייחסות לתצפית כרעש. רווח גדול יותר פירושו שהמסנן מתאים את האומדן יותר לתצפית; אין פירושו שהקשר אמין יותר.

נניח שמסנן היפותטי חוזה \(\hat\alpha=2.0\) ו-\(\hat\beta=1.20\) כאשר \(x_t=50\), ולכן \(\hat y=62.0\). אם \(y_t=62.8\), החדשנות היא \(0.8\). אם רווח המודל הוא \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\), החותך המעודכן הוא \(2.064\) והשיפוע הוא \(1.2048\). אלה ערכים מומצאים לצורך הדגמת החשבון, לא יחס גידור אמפירי או ראיה שהסטייה תתהפך.

מטריצת רעש התהליך \(Q\) קובעת כמה מקדמי הרגרסיה יכולים להשתנות בין תצפיות. הגדלת \(Q\) מגדילה בדרך כלל את הרווח והופכת את האומדן למהיר תגובה יותר. כך הוא עשוי לזהות שינוי אמיתי מוקדם יותר, אך גם לרדוף אחר רעש זמני וליצור משקלי גידור משתנים במהירות. \(Q\) קטנה מדי נותנת אומדן חלק יותר שעלול לפגר אחרי שבר אמיתי.

שונות רעש התצפית \(R\) מתארת תנודות ב-\(y_t\) שאינן מוסברות בקשר. כאשר יתר הגדלים קבועים, \(R\) גדולה יותר גורמת למסנן לייחס פחות משקל לכל תצפית חדשה. \(Q\) ו-\(R\) אינן קבועי כיול אוניברסליים; קנה המידה תלוי בשאלה אם המודל משתמש במחירים, בלוגריתמים שלהם, בסדרות מנורמלות ובמרווח הדגימה.

אפשר לאמוד את פרמטרי הרעש באמצעות נראות או לקבוע אותם מראש על סמך חלון אימון, אך כוונון לפי תוצאות תקופת המסחר הסופית דולף מידע מהתוצאה. גם המצב ההתחלתי \(\hat\theta_{0|0}\) והשונות המשותפת שלו \(P_{0|0}\) חשובים: אתחול לא ודאי עשוי ליצור תקופה של התאמות מהירות בתחילת הסדרה. דווחו על האתחול, מדגם אמידת הפרמטרים ורגישות התוצאות לחלופות סבירות.

אומדן מסונן \(\hat\theta_{t|t}\) משתמש בתצפיות עד זמן \(t\). אומדן מוחלק בזמן \(t\) עשוי להשתמש בתצפיות שהגיעו אחריו. החלקה מועילה לתיאור בדיעבד של מצבים חבויים, אך לא הייתה זמינה לסוחר בזמן ההחלטה ההיסטורי.

אותה בעיית תזמון נוגעת לאמידת \(Q\) ו-\(R\), לבחירת הזוג ולספי האות. אם מתאימים אותם פעם אחת על כל המדגם, אומדנים מוקדמים נשענים על תצפיות מאוחרות גם כאשר רקורסיית המקדמים עצמה חד־כיוונית. בסימולציה בזמן אמת, אמדו פרמטרים היפריים רק בתקופת היווצרות, הקפיאו אותם או עדכנו אותם בלוח walk-forward שהוגדר מראש, וקבלו כל החלטת פוזיציה על סמך המידע שהיה זמין לפני הביצוע.

זמן התצפית אינו זמן הביצוע. אם נדרש מחיר הסגירה ב-\(t\) כדי לחשב את \(v_t\), בדיקה היסטורית אינה יכולה להניח ביצוע באותה סגירה אלא אם תהליך הביצוע מאפשר זאת. השתמשו בציטוט הבא שניתן לבצע בו או במודל ביצוע מוצדק, וכללו מרווח, השפעת שוק, עמלות, השאלה ומימון.

במחקר זוגות, החדשנות \(v_t\) לפני העדכון היא ההפתעה ביחס לקשר הקודם. חלוקתה ב-\(\sqrt{S_t}\) נותנת חדשנות מתוקננת תחת המודל. היא מסייעת להשוות הפתעות בתקופות שבהן אי־הוודאות המשוערת שונה, אך אינה אומרת כמה לקנות או למכור מכל נכס, או אם סטייה גדולה תתהפך.

השארית לאחר העדכון \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) היא גודל אחר, משום שהיא משתמשת בתצפית הנוכחית לעדכון המקדמים. שילוב השארית הזאת עם סף שלפני העדכון משנה את משמעות האות. הגדירו במפורש את המרווח, התזמון והסף, וציינו אם המקדם הוא אומדן קודם, מסונן או מוחלק.

גם כאשר \(\beta_t\) נאמדת מלוגריתמי מחירים, המרתה לפקודות דורשת כלל פוזיציה נפרד. משקלים בלוגריתמי מחירים אינם מגדירים ישירות כמויות מניות או חוזים. מחירים, מכפילי חוזה, מטבעות ומגבלות חשבון קובעים את החשיפה הדולרית; החותך אינו נכס סחיר. גם עלויות איזון מחדש ושינוי בחשיפה בין עדכוני המקדמים חשובים.

מקדם שנודד לאט עשוי לייצג שינוי הדרגתי, אך הוא עלול גם לספוג קשר שהתפרק. מודל עם מצבים גמישים יכול לשמור על שאריות מותאמות קטנות למראה גם כאשר אין שיווי משקל ארוך טווח יציב. המסנן אינו בודק קו־אינטגרציה ואינו מבטיח שהשארית סטציונרית.

גם בחירת הזוג חשובה. סינון נכסים רבים והשארת הזוג עם השארית החלקה ביותר בתוך המדגם פירושם שהזוג נבחר מאותם נתונים שמשמשים לטעון ליציבות. פעולות תאגידיות, מחירים מיושנים, שערי סגירה לא מסונכרנים, מגבלות מכירה בחסר, שינויים בנזילות ומעברי משטר יכולים לשנות את המצבים המשוערים או להקשות על ביצוע הגידור התאורטי.

בדקו את התנהגות השאריות, אי־ודאות המצב, מחזור הפוזיציות ומסלול המקדמים לצד הקו המותאם. השתמשו בתקופות כרונולוגיות מחוץ למדגם והשוו מול אמת מידה של יחס קבוע. אומדן מסתגל יותר צריך להצדיק את מחזור הפוזיציות ואת סיכון האמידה לאחר עלויות מציאותיות; מראה חלק לבדו אינו תוצאת ביצועים.

ציינו אילו סדרות מחיר או תשואה מודלו, כיצד הומרו, תדירות התצפיות, תאריכי המדגם ואיזה נכס מופיע בצד שמאל של הרגרסיה. מסרו את משוואות התצפית והמצב, מטריצת המעבר, \(Q\), \(R\), האתחול, שיטת האמידה, והאם המצבים המוצגים מסוננים או מוחלקים.

בתוצאת מסחר הגדירו את החדשנות או המרווח שעליהם מבוסס האות, תקנונו, חותמת זמן ההחלטה, עיכוב הפקודה, גודל הפוזיציה, כלל האיזון מחדש וכל עלויות הביצוע. תארו את סינון הזוגות, חלונות האימון והבדיקה, אופן הכוונון מחדש של פרמטרי הרעש והתנהגות האסטרטגיה אחרי שבר או תצפית חסרה. השוו מקדמים קבועים ודינמיים על אותם חלונות כרונולוגיים.

המאמר של Kalman על סינון ליניארי מפתח את המסגרת הרקורסיבית. Hatanaka חוקר רגרסיות שבהן חלק מהמקדמים משתנים בזמן. Elliott, van der Hoek ו-Malcolm מציגים מודל סטוכסטי למסחר בזוגות. לנושאים קשורים ראו את המדריכים על חיזוי ועדכון קלמן, קו־אינטגרציה לעומת מתאם במסחר בזוגות, מבחן הדרגה של Johansen ומבחן יחס השונויות.