תהליכי Lévy ומפצי קפיצות: הסבר

עבור תהליך Lévy X, התוספות במרווחים זרים בלתי־תלויות והחוק של X_{t+h}-X_t תלוי רק ב־h

רציפות סטוכסטית שוללת אי־רציפויות קבועות בהסתברות, בעוד שגרסת càdlàg נותנת מסלולים רציפים מימין עם גבולות משמאל

לכן למודל יש חוק תוספות הומוגני בזמן, הנחה חזקה שמועילה אנליטית אך ניתנת לבחינה אמפירית

מוסכמת חיתוך נותנת שלשה (b, σ², ν): סחף, שונות בראונית ומידת קפיצות של Lévy

המידה ν רושמת עוצמת קפיצה צפויה לפי גודל ועליה לקיים ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞

שינוי פונקציית החיתוך יכול לשנות את הסחף המדווח b, אך לא את החוק כאשר כל איברי השלשה מותאמים בעקביות

לפונקציית האפיון יש צורה E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)), כאשר ψ נקבעת על ידי השלשה

תוספות בלתי־תלויות וסטציונריות הופכות קונבולוציה לאורך זמן לכפל, שהופך לסקיילינג ליניארי של מעריך האפיון

מבנה זה תומך בשיטות אופציות בפורייה, אך היפוך נומרי עדיין זקוק לבקרות damping, רשת וחיתוך

הפירוק כותב את X כסחף, רכיב בראוני, קפיצות גדולות וקפיצות קטנות מפוצות

לקפיצות גדולות יש עוצמת הגעה סופית מעל כל סף קבוע; אינסוף קפיצות קטנות עשויות להתרחש בזמן סופי

פעילות אינסופית ושונות אינסופית הן תכונות שונות, ולכן יש לבדוק אינטגרלים של ν ולא להסיק אחת מהאחרת

יהי N(dt,dx) סופר של קפיצות בגודל x; עבור תהליך Lévy הפיצוי שלו הוא dtν(dx)

המידה המפוצה Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) מחסירה הגעות קפיצה צפויות ומשלבת הפתעות מתאימות במרטינגייל מקומי

לסכום הקפיצות הגולמי ולאינטגרל המפוצה יש סחפים שונים, ולכן מעבר ביניהם בלי התאמת שונות סופית משנה את המודל

מודלי נכס קובעים לעיתים S_t = S_0e^{X_t} או משתמשים באקספוננט סטוכסטי, אך חיוביות לבדה אינה הופכת מחיר מהוון למרטינגייל

מעריך האפיון חייב לקיים את תנאי המומנט האקספוננציאלי ואת תנאי המרטינגייל הרלוונטיים תחת מידת התמחור שנבחרה

קפיצות יוצרות סיכון שאינו משוכפל, ולכן מידות מרטינגייל שקולות עשויות להיות לא־ייחודיות ותמחור דורש כלל בחירה נוסף

קפיצות Lévy יכולות להתאים סקיו, זנבות כבדים ו־smile של בגרות קצרה טוב יותר מדיפוזיה טהורה

תוספות בלתי־תלויות וסטציונריות שוללות אשכול תנודתיות, דינמיקת מינוף ועוצמת קפיצה משתנה בזמן, אלא אם המודל מורחב

בדוק קיום מומנטים, חיתוך קפיצות קטנות, תיקון מרטינגייל, יציבות כיול, אקסטרפולציית זנב ושגיאת גידור מחוץ למדגם