חוק המספרים הגדולים לעומת משפט הגבול המרכזי

עבור תצפיות X_1,…,X_n עם ממוצע μ, ממוצע המדגם הוא X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i

חוק המספרים הגדולים שואל אם X̄_n מתקרב ל־μ כאשר n גדל, ואילו משפט הגבול המרכזי שואל על ההתפלגות הגבולית של הפרש מסולם כמו √n(X̄_n−μ)

התכנסות לערך הנכון אינה נותנת כשלעצמה קצב שגיאה, צורה, רווח סמך או קירוב שימושי למדגם סופי

החוק החלש קובע P(|X̄_n−μ|>ε)→0 לכל ε>0 תחת ההנחות שלו

הוא אומר שהסתברות לשגיאה בגודל קבוע נעלמת, ולא שכל מסלול ממומש יישאר לבסוף קרוב לנצח

עבור תצפיות iid, תוחלת סופית מספיקה לחוק חלש רחב, בעוד שהוכחות פשוטות המבוססות על שונות מניחות לעיתים קרובות שונות סופית

החוק החזק קובע X̄_n→μ כמעט בוודאות, כלומר ההתכנסות מתקיימת לכל התוצאות מחוץ לקבוצה אחת בהסתברות אפס

התכנסות כמעט־ודאית גוררת התכנסות בהסתברות, אך ההפך אינו נכון ללא מבנה נוסף

החוק החזק נשאר אסימפטוטי ואינו מציין כמה גדול n צריך להיות עבור סבילות החלטה מסוימת

עבור משתנים iid עם שונות חיובית סופית σ², הביטוי √n(X̄_n−μ)/σ מתכנס בהתפלגות ל־N(0,1)

הגורם √n מונע מהשגיאה המתכווצת לקרוס לאפס וחושף את צורת הגבול הלא־מנוונת שלה

חוק המספרים הגדולים יכול להתקיים כאשר משפט הגבול המרכזי הקלאסי נכשל, כולל מצבים של זנב כבד שבהם הממוצע קיים אך השונות אינה קיימת

תהליכים סטציונריים וארגודיים עשויים לקיים חוק מספרים גדולים, בעוד שמשפט גבול מרכזי דורש בנוסף שליטה מספקת בתלות ובתנודות

סדרות פיננסיות יכולות לשנות ממוצע, שונות, חשיפה, נזילות ומשטר, ולכן רשומה ארוכה אחת אינה חייבת להתנהג כמו הגרלות חוזרות מחוק אחד

תצפיות נוספות מאותו אשכול משבר או מאותו משטר מיושן עשויות להוסיף פחות מידע אפקטיבי מכפי שמספר השורות מרמז

הלם אידיוסינקרטי ממוצע יכול להתייצב בין עמדות רבות בעלות תלות חלשה מספיק, כאפקט דמוי חוק המספרים הגדולים

גורמים משותפים, תלות בזנב, משקולות מרוכזות וחדלויות מתואמות אינם נעלמים רק משום שהתיק מחזיק שמות רבים

באופן דומה, ממוצע תשואה ארוך אינו מבטיח לחשוף תשואה צפויה קבועה כאשר קבוצת ההזדמנויות עצמה משתנה

שרטט ממוצעים רצים ואומדני תת־מדגמים, ואז בחן תלות, שברים מבניים, מומנטי זנב וגודל מדגם אפקטיבי

השתמש בשגיאת תקן שמוצדקת על ידי משפט הגבול המרכזי הרלוונטי או שיטת הדגימה מחדש, במקום להתייחס להתכנסות הממוצע כאומדן אי־ודאות

דווח על האומד, הנחות ההתכנסות, האופק, רצועות השגיאה והרגישות לחלונות או למשטרים לפני שמסתמכים על אחד המשפטים