משוואת Hamilton–Jacobi–Bellman בפיננסים מוסברת

יהי X תהליך מצב המושפע מבקרה a, כגון צריכה, משקל בתיק, מלאי או מהירות ביצוע

הערך V(t,x) הוא יעד העתיד הצפוי הטוב ביותר שניתן להשיג ממצב x בזמן t על פני כל המדיניות הקבילות

הגדרת קבילות היא חיונית מפני שמינוף, מידע, אינטגרביליות ואילוצי שוק קובעים אילו בקרות אפשר להשוות

עקרון Bellman אומר שתוכנית אופטימלית נשארת אופטימלית אחרי המרווח הקצר הראשון, בהתניה במצב שאליו הגיעה אז

לכן הערך של היום שווה לתגמול המיידי הטוב ביותר בתוספת הערך שממשיכים באופטימליות לאחר צעד קטן

פיתוח הרקורסיה בזמן ושימוש בגנרטור הנשלט מייצרים את משוואת HJB בזמן רציף

צורה נפוצה באופק סופי היא ∂_tV + sup_a{r(t,x,a) + L^aV} = 0 עם תנאי סופי

כאן r הוא התגמול השוטף ו־L^a הוא גנרטור המצב כאשר הפעולה a מוחזקת מקומית

הסופרימום הופך את המשוואה ללא־ליניארית גם כאשר כל משוואה של בקרה קבועה היא ליניארית

בבעיית Merton, העושר משתנה עם צריכה ועם הקצאות לנכסים מסוכנים ולנכסים חסרי סיכון

ה־HJB מאזנת את התועלת מהצריכה הנוכחית מול האופן שבו כל בחירה משנה את הסחיפה והשונות של ערך העושר העתידי

תועלת מיוחדת והזדמנויות השקעה קבועות יכולות להניב צורות סגורות, אך הזדמנויות סטוכסטיות או אילוצים בדרך כלל מוסיפים ממדי מצב

פתרון תנאי סדר ראשון בתוך HJB מייצר מדיניות מועמדת, לא אופטימום קביל באופן אוטומטי

משפט אימות בודק רגולריות, תנאי גבול וסיום, אינטגרביליות והשגת הגבול על ידי המועמד

כאשר הערך אינו חלק, שיטות של פתרונות ויסקוזיים מחליפות נגזרות קלאסיות תוך שמירה על המשמעות של תכנות דינמי

מגבלות פוזיציה, עלויות עסקה, אזורי ללא־מסחר, כללי ירידה והשפעת שוק יכולים ליצור פינות או משתני מצב נוספים

פעולות אימפולס יכולות להוביל לאי־שוויונות קוואזי־וריאציוניים, בעוד שאי־בהירות מודלית יכולה להוסיף אופטימיזציה שנייה על פני דינמיקות שליליות

לעולם אין לחתוך מכנית את פתרון הסדר הראשון הבלתי־מוגבל בלי לבדוק את בעיית הבקרה עם האילוצים

הפרשים סופיים, איטרציית מדיניות, סכמות חצי־לגרנז'יאניות ותכנות דינמי מקורב תוקפים מבנים שונים של מצב ובקרה

תוצאה אמינה בודקת מונוטוניות, יציבות, רגישות לגבול, התכנסות רשת והאם המדיניות שנמצאה קבילה

פלט HJB מותנה במטרה ובמודל; מדיניות אופטימלית להעדפות או לדינמיקה הלא נכונות אינה כלל מסחר יציב