משפט Gärtner–Ellis מוסבר: סטיות גדולות וזנבות אופציות

עבור וקטורים אקראיים Z_n ומהירות a_n→∞, הגדירו Λ_n(θ)=a_n^{-1}log E[exp(a_n⟨θ,Z_n⟩)]

נניח ש־Λ_n(θ) מתכנסת נקודתית לפונקציה בעלת ערכים מורחבים Λ(θ) בתחום מוצהר

גבול זה מתעד את צמיחת המומנטים האקספוננציאלית באותה סקאלה שבה מודדים הסתברויות של אירועים נדירים

הקצב המועמד הוא Λ*(x)=sup_θ{⟨θ,x⟩−Λ(θ)}, טרנספורם Legendre–Fenchel של Λ

כאשר Λ גזירה, אפשר להתאים ליעד x הטיה θ המקיימת ∇Λ(θ)=x

הערך Λ*(x) הוא העלות האקספוננציאלית של הפיכת x לטיפוסי תחת המידה המוטה המתאימה

המשפט נותן בדרך כלל חסם עליון לקבוצות סגורות תחת תנאים של הדוקות אקספוננציאלית

החסם התחתון הבסיסי שלו עשוי לכסות רק נקודות חשופות של Λ*, שבהן מישור תומך אחד מזהה את היעד באופן נקי

חלקות חיונית, חצי־רציפות מלמטה והתנהגות תלולה בגבולות תחום סופיים יכולות להרחיב זאת לחסם תחתון מלא

עבור תצפיות iid עם פונקציה יוצרת מומנטים לוגריתמית שסופית בסביבת האפס, לממוצע המדגם יש קצב Λ* בתנאים הסטנדרטיים

Gärtner–Ellis רחב יותר מפני שהוא יכול לטפל במשפחות תלויות או שאינן iid לאחר שגבול הטרנספורם המוקטן שלהן ידוע

הוא אינו רחב יותר ללא מחיר: הוכחת הגבול, ההדוקות האקספוננציאלית ורגולריות הגבול יכולה להיות החלק הקשה

עבור תשואות לוגריתמיות תחת מידה נייטרלית לסיכון, גבול טרנספורם לטווח ארוך, לטווח קצר או לרעש קטן עשוי לגרור אסימפטוטיקות של זנב ושל אופציות מחוץ לכסף

התאמת ירידת מחיר האופציה המובילה לבנצ'מרק יכולה אז להפיק התנהגות מובילה של התנודתיות הגלומה באותו משטר

מידת התמחור, תנאי המרטינגל, סקאלת מחיר המימוש ותחום הטרנספורם חייבים להישאר עקביים לאורך הטיעון

כל טרנספורם Legendre–Fenchel הוא קמור, גם כאשר קצב האירוע הנדיר הבסיסי של מערכת אינו קמור

Λ לא חלקה יכולה לקודד פאזות מתחרות, בעוד שהדואלי שלה עשוי להכיל קטעים ליניאריים והטיות אופטימליות לא יחידות

לכן דואליזציה עיוורת יכולה להחזיר מעטפת קמורה ולהחמיץ מצבים הדורשים ניתוח ישיר יותר של סטיות גדולות

בדקו התכנסות של Λ_n על פני רשת θ מתרחבת, סופיות הטרנספורם, קמירות, נגזרות וצמיחה בגבול

השוו את Λ*(x) להסתברויות לוגריתמיות מדומות או לאסימפטוטיקות בלתי תלויות על פני כמה סקאלות, לא רק מועד אחד

תעדו כיסוי נקודות חשופות, הדוקות אקספוננציאלית, יחידות האופטימייזר, תקפות המרטינגל ובדיקות ארביטראז' סטטי על מחירי אופציות נגזרים