מבחני ההטיה בסימן ובגודל של Engle–Ng למודלי תנודתיות

מודל תנודתיות יכול ללכוד התקבצות של גדלי תשואות ובכל זאת להחמיץ הבדלים בהשפעת זעזועים על השונות העתידית. מודל GARCH סימטרי נותן לזעזועים חיוביים ושליליים שווי־גודל אותה השפעה. אם השאריות המתוקננות משאירות דפוסים שונים אחרי כל סימן, ייתכן שההגבלה חזקה מדי למדגם.

Engle ו-Ng מציגים זאת כאבחון לאחר התאמה: האם סימן החדשנות הקודמת, או גודלה בתוך הענף החיובי או השלילי, מסבירים את השארית המנורמלת בריבוע של היום? המאמר המקורי מגדיר את עקומת השפעת החדשות ומשווה מודלים על נתוני תשואות יומיים של מניות יפניות. הדירוג האמפירי שייך למדגם ההוא, ולא לכל השווקים (Engle ו-Ng, 1993).

כאן “הטיה” היא דפוס שנותר לפי סימן או גודל ואינו מוסבר במודל השונות, ולא הטיה סטטיסטית של אומדי הפרמטרים. הגדירו תחילה מודל GARCH, ואז בדקו אם תגובתו לזעזועים מתאימה למטרה ולמדגם.

כתבו את התשואה כך:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

כאן \(\mu_t\) הוא התוחלת המותנית ו-\(\epsilon_t\) היא החדשנות שנותרת לאחר התאמת מודל התוחלת. \(h_t\) היא השונות המותנית שאומדה; השארית המתוקננת משווה את החדשנות לסולם השונות שחוזה המודל.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

אם מפרט השונות מתאים, \(\hat z_t^2\) לא אמור להיות גדול או קטן באופן שיטתי אחרי זעזועים קודמים מסוימים מעבר למה שהמודל המוחזק כבר מסביר. התקנון מסיר את סולם השונות החזוי; ריבועי שאריות גולמיים עשויים לשמר התקבצות רגילה. הגדירו את משוואת התוחלת, השארית, השונות, המדגם והיחידות לפני פירוש ערך p.

הגדירו אינדיקטור לחדשנות קודמת שלילית ואת המשלים שלו:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

רגרסור מבחן הסימן הוא \(S^-\); לגודל שלילי משתמשים ב-\(S^-\hat\epsilon\), ולגודל חיובי ב-\(S^+\hat\epsilon\). כל אחד בוחן שאלה אחרת: האם רק הסימן חשוב, והאם הגודל מוסיף מידע בתוך כל ענף? ציינו איך מסווגים חדשנות אפס ומה היחידות, כי מקדמי הגודל תלויים בהן.

עקומת השפעת החדשות מסכמת כיצד המודל ממיר חדשנות חדשה לשונות המותנית הבאה כשהמצבים האחרים קבועים. עקומת GARCH סימטרית סביב אפס, ומפרטים א־סימטריים משחררים את ההגבלה. זו תכונת מודל, לא תגובה סיבתית שנמדדה ישירות בשוק.

\(\mathbf z_{ot}^*\) הוא וקטור הנגזרות המנורמלות של השונות המותנית שנשמרה ביחס לפרמטרי העזר, המחושבות תחת השערת האפס. אלה איברי score/נגזרת, ולא בהכרח רגרסורי השונות הגולמיים. כל רגרסיית עזר מוסיפה איבר סימן או גודל תוך שמירה על האיברים האלה.

מבחן הסימן שואל אם סימן החדשנות הקודמת מנבא את השארית המתוקננת בריבוע של היום. רגרסיית עזר פשוטה היא:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

השערת האפס האישית היא \(b_s=0\). במימוש המלא משאירים את איברי המודל שהנוהל דורש ובודקים אם האינדיקטור מוסיף הסבר. מקדם מובהק מצביע על דפוסי שונות שאריתית שונים אחרי זעזועים שליליים ולא־שליליים, בהתניה למודל שאומד.

אין פירוש הדבר שתשואות שליליות תמיד מעלות תנודתיות. המבחן אינו מזהה מנגנון סיבתי או כל תגובה לא־ליניארית אפשרית. דחייה מצדיקה בדיקה של המודל והנתונים.

המבחן מתמקד בענף השלילי ושואל אם גודל החדשנות מסביר דפוס שנותר:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

השערת האפס היא \(b_-=0\). כשהאינדיקטור הוא אחד החדשנות שלילית, ולכן פירוש סימן המקדם תלוי במוסכמת הסימנים וביחידות. המבחן בודק אם גודל הזעזוע מוסיף מידע שהמודל לא תפס; הוא אינו מוכיח סיבתיות של חדשות רעות או תחזית טובה יותר.

רגרסורי העזר עשויים להיות מתואמים, ולכן קשה לבודד את תרומתו של כל איבר. פרשו את המבחנים האישיים לצד הרגרסיה המלאה והמבחן המשותף.

מחקרים קשורים משווים מפרטי שונות א־סימטריים כגון GJR, אך התוצאות האמפיריות שלהם מוגבלות לנתונים ולהנחות של כל מחקר (Glosten, Jagannathan ו-Runkle, 1993).

<!-- learn:illustration -->

המבחן המקביל בוחן את ענף החדשנויות החיוביות:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

השערת האפס היא \(b_+=0\). המבחן יכול להיות מובהק גם אם מבחן הסימן אינו מובהק: התגובה עשויה להשתנות עם הגודל בתוך ענף אחד בלי הבדל ממוצע בין הסימנים.

“הטיית גודל חיובי” אינה אומרת שתשואות חיוביות בהכרח מעלות או מורידות תנודתיות. EGARCH של Nelson ומודל הסף של Zakoian מאפשרים דינמיקת שונות א־סימטרית; אלה חלופות לבדיקה, לא תיקון אוטומטי או מודלים שתמיד עדיפים.

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

אפשר לבדוק את שלושת הרגרסורים יחד ברגרסיית עזר אחת:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

השערת האפס המשותפת היא \(b_1=b_2=b_3=0\). תחת המפרט המוחזק ותנאי מדגם גדול רגילים, משווים את סטטיסטי LM אסימפטוטית להתפלגות חי־בריבוע עם 3 דרגות חופש. צורה נפוצה היא \(LM=M R^2\), כאשר \(M\) הוא מספר השורות ו-\(R^2\) מתקבל מהרגרסיה שצוינה. פעלו לפי משוואת המבחן וכללי המדגם הסופי של המימוש שנבחר.

Engle ו-Ng מציינים שהשמטת \(\mathbf z_{ot}^*\) מהרגרסיה המשותפת הופכת את המבחן לשמרני: גודלו אינו עולה על הרמה הנומינלית, אך עוצמתו עשויה לרדת.

דוגמה היפותטית בלבד: אם \(M=400\) ו-\(R^2=0.012\), אז \(LM=4.8\). הערך הקריטי המשוער ב-5% לחי־בריבוע עם 3 דרגות חופש הוא 7.81, ולכן כאן לא דוחים. המספרים להמחשה בלבד ואינם תוצאה אמפירית או הוכחת סימטריה.

ערך p קטן מצדיק בדיקה של דפוס שאריתי מסוים; הוא אינו בוחר מודל חלופי ואינו מוכיח מנגנון מינוף סיבתי או ערך חיזוי כלכלי. ערך p גדול אומר רק שהמבחן לא זיהה את הדפוס שנבחר במדגם זה.

רגרסורי העזר עשויים להיות מתואמים, במיוחד אינדיקטור הסימן ואיבר הגודל השלילי, והדבר עלול להחליש את עוצמת המבחנים האישיים. גם גודל המדגם, האמידה והמפרט המוחזק חשובים. בדיקת נכסים, מודלים, פיגורים וחלונות רבים מגדילה את הסיכוי לערכי p קטנים במקרה.

חריגים, קפיצות, שברים מבניים, דינמיקת תוחלת חסרה או יחידות לא עקביות יכולים לשנות תוצאות. תעדו את הגדרת התשואה, חלון האמידה, מוסכמת הסימנים ושיטת ההסקה; ציינו את מגבלות הקירוב האסימפטוטי ושקלו דגימה חוזרת מתאימה.

ARCH LM שואל אם ריבועי שאריות בפיגור מסבירים את ריבוע השארית הנוכחי; ראו את מדריך ARCH-LM. Engle–Ng בודק איברי סימן וגודל מסוימים. Ljung–Box בודק אוטוקורלציה בשאריות, שאלה אחרת.

אחרי דחייה אפשר לאמוד GJR-GARCH, EGARCH או מודל סף, לבדוק שוב את השאריות ולהעריך תחזיות בנפרד. QLIKE ושגיאה ריבועית מדרגים תחזיות לאחר יצירתן ואינם מחליפים אבחון מפרט של שאריות.

אם תחזית תנודתיות משמשת בכלל מסחר, העריכו אותה מחוץ למדגם עם עמלות, מרווח, השפעת שוק, מימון ומגבלות סיכון. מבחן סימן וגודל אינו אות קנייה או מכירה.