DCC-GARCH: איך לאמוד מתאמים משתנים בין נכסים

מטריצת שונות משותפת היא יותר מרשימה של קשרים ארוכי טווח. בנקודת החלטה מסוימת משקיע עשוי להזדקק לשונות המותנית של כל תשואה ולשונות המשותפת המותנית של כל זוג נכסים, על סמך המידע שהיה זמין עד אז. כאשר התנודתיות והתנועה המשותפת משתנות לאורך זמן, מטריצה יחידה שנאמדה על פני כל המדגם מערבבת תקופות שקטות, תקופות לחץ ושינויים מבניים אפשריים.

DCC-GARCH מאפשר למטריצת המתאם המותנה להשתנות תוך שמירה על מודל חסכוני. מאמרו של רוברט אנגל מ־2002 מציע מפרט של מתאם מותנה דינמי המשלב מודלי תנודתיות חד־משתניים עם רקורסיית מתאם בעלת מעט פרמטרים (Engle, 2002). כך הוא מתמודד עם בעיית קנה מידה מעשית: במודל שונות משותפת בלתי מוגבל לחלוטין מספר הפרמטרים גדל במהירות עם מספר הנכסים.

השיטה שימושית כשהשאלה היא כיצד התלות המותנית בין נכסים משתנה לאחר שמביאים בחשבון את התנודתיות המשתנה של כל סדרה. היא אינה קובעת מדוע נכסים נעים יחד. למבוא פשוט יותר לשונות משתנה בסדרה יחידה, ראו התקבצות תנודתיות ו־GARCH. על מתאמים בין צמדי מטבע ועל המגבלות שבהצגתם כחשיפה משותפת, ראו מתאם בין צמדי פורקס.

נסמן ב־\(r_t\) את וקטור התשואות של \(N\) נכסים, ב־\(\mu_t\) את הממוצע המותנה שלו, וב־\(\epsilon_t=r_t-\mu_t\) את החדשנות. מודל DCC מפרק את מטריצת השונות המשותפת המותנית כך:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

כאשר \(\mathcal{F}_{t-1}\) הוא המידע הזמין לפני התצפית בזמן \(t\), \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) מכילה את סטיות התקן המותנות, ו־\(R_t\) היא מטריצת מתאם מותנה.

אפשר למדל כל \(\sigma_{i,t}^2\) באמצעות משוואה חד־משתנית ממשפחת GARCH, למשל:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

המודל השולי מתאר כיצד קנה המידה של החדשנות בנכס \(i\) משתנה לפי ההיסטוריה שלו. הוא אינו אומר שגם המתאם שלו עם נכס \(j\) משתנה. מנגד, שינוי ב־\(R_t\) אינו מעיד כשלעצמו שהתנודתיות של אחד הנכסים עולה. השונות המשותפת משלבת את שני האפקטים:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

השונות המשותפת עשויה לעלות כאשר התנודתיות של נכס אחד או של שניהם עולה, גם אם \(\rho_{ij,t}\) קבוע. לאחר מידול התנודתיות השולית, DCC מנסה לאמוד בנפרד את השינוי שנותר במתאם המותנה. בכך הוא שונה מהתאמת מודלי GARCH נפרדים ומהתייחסות לשונות המשותפת של התשואות הגולמיות כאל ערך קבוע.

לאחר אמידת הממוצעים המותנים והשונויות השוליות, מתקננים את החדשנויות:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

אם המודלים השוליים מתאימים, השונות המותנית של כל רכיב ב־\(z_t\) אמורה להיות בקירוב אחת. הרכיבים עדיין יכולים להיות תלויים זה בזה באותו זמן; הדפוס המשותף שלהם משמש לעדכון המתאמים. התקנון מונע מכך שתנועה גולמית גדולה בנכס שתנודתי מטבעו תיחשב אוטומטית לראיה חזקה יותר לתלות מתנועה מתוקננת דומה בנכס אחר.

בפועל, השאריות המתוקננות הן כמויות נאמדות ולא עובדות שנצפו ישירות. מודל ממוצע לקוי עשוי להשאיר מבנה שניתן לחיזוי בתוך \(\epsilon_t\), ומודל תנודתיות לקוי עשוי להשאיר קנה מידה משתנה ב־\(z_t\). שלב המתאם עלול לספוג את שגיאות המודל השולי ולעוות את \(R_t\). גם זנבות כבדים, חריגים, תאריכים חסרים, שעות מסחר לא מסונכרנות, פעולות תאגידיות ומחירים מיושנים משפיעים על השאריות שמוזנות לתהליך.

אנגל ושפרד מתארים שיטה דו־שלבית: אמידת מודלי GARCH חד־משתניים, ולאחר מכן אמידת פרמטרי המתאם מהשאריות המתוקננות (Engle and Sheppard, 2001). התאמה נפרדת של המודלים השוליים מקלה על החישוב, אך גם פירושה שתוצאת השלב השני מותנית במפרטי השלב הראשון ובאופן שבו הסדרות יושרו בזמן.

DCC רגיל מעדכן תחילה מטריצת עזר \(Q_t\):

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) היא מטריצה ארוכת־טווח של החדשנויות המתוקננות. \(a\) קובע עד כמה תנועות משותפות אחרונות משפיעות על העדכון, ו־\(b\) קובע את ההתמד של \(Q\) הקודם. במפרט הסקלרי המקובל של DCC רגיל, ערכים לא־שליליים של \(a,b\) המקיימים \(a+b<1\), יחד עם \(\bar Q\) חיובית־מוגדרת ואתחול מתאים, שומרים את הרקורסיה הרגילה חיובית־מוגדרת. עם זאת, סטציונריות חזקה והסקה תקפה עדיין תלויות במודל המלא ובהנחותיו. אלה מגבלות של המפרט שנבחר, ולא ערובה כללית לכל גרסה.

האיברים האלכסוניים של \(Q_t\) אינם בדרך כלל אחד, ולכן \(Q_t\) אינה כשלעצמה מטריצת מתאם. נגדיר \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\) וננרמל:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

כך האיברים האלכסוניים נעשים אחד והאיברים שמחוץ לאלכסון הופכים למתאמים מותנים חסרי יחידות. השונות המשותפת המותנית מתקבלת לאחר מכן מ־\(H_t=D_tR_tD_t\). ההבחנה בין \(Q_t\),‏ \(R_t\) ו־\(H_t\) מונעת טעות נפוצה: הרקורסיה מעדכנת מטריצת תלות עזר, הנרמול יוצר מתאמים וסטיות התקן השוליות מחזירות אותם לסולם התשואות. לנרמול תפקיד מרכזי בשיטה של Engle (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- איור מושגי ללא מילים: סדרות תשואה בעלות מעטפות תנודתיות ברוחבים שונים מתחברות לרצועת תלות משותפת המשתנה בהדרגה; המחשה מושגית בלבד, לא נתוני שוק או תחזית. -->

ביישום דו־שלבי נפוץ, מתאימים תחילה לכל נכס ממוצע מותנה ושונות חד־משתנית ממשפחת GARCH. בעזרתם מחשבים \(z_t\), ואז אומדים את פרמטרי DCC מחלק המתאם של פונקציית נראות או נראות־למחצה. אפשר להשתמש בנראות גאוסית בשלב הראשון גם כשהתשואות אינן גאוסיות, כנראות מרבית־למחצה ובהינתן תנאי סדירות מתאימים. עם זאת, שגיאות התקן וההסקה צריכות להתאים לאומד בפועל ולהנחותיו.

החלוקה לשלבים מושכת מבחינה חישובית בהשוואה לאמידת מערכת GARCH רב־משתנית בלתי מוגבלת. היא גם יוצרת תלות בין השלבים: אי־הוודאות בפרמטרים השוליים משפיעה על השאריות המתוקננות ולכן על האמידה בשלב השני. אומדן של \(a\) או \(b\) אינו מדידה ישירה של קבוע שוק בלתי משתנה. פרשנותו תלויה במדגם, במודלים השוליים, באתחול, בהנחות ההתפלגות וביציבות דינמיקת המתאם.

לעיתים קרובות אומדים את \(\bar Q\) מתוך שונות משותפת מדגמית של השאריות המתוקננות, אך ההגדרות והתיקונים המדויקים משתנים. על יישום לציין כיצד נאמדת \(\bar Q\), כיצד אותחל \(Q_0\), כיצד מטפלים בתצפיות חסרות ואילוצים, וכיצד מחושבת הנראות. אופטימיזציה בקרבת \(a+b=1\), מטריצת \(\bar Q\) כמעט סינגולרית או יקום נכסים גדול מדי עלולים ליצור אי־יציבות מספרית. דווחו אבחוני התכנסות ובדקו רגישות למודלים שוליים ולחלונות חלופיים וסבירים.

בעסקאות בזמנים לא סדירים, תשואות מסונכרנות של DCC רגיל עלולות להיות בלתי מתאימות ללא תכנון דגימה מכוון. ייתכן שנדרש אומד אחר כדי לטפל בתצפיות לא־סינכרוניות; ראו את המדריך לשונות המשותפת של Hayashi–Yoshida. כיווץ יעד שונות משותפת רועש, כמו בכיווץ השונות המשותפת של Ledoit–Wolf, הוא שלב נפרד ואין לבלבל בינו לבין רקורסיית המתאם הדינמית של DCC.

נבחן שתי חדשנויות מתוקננות ועדכון DCC מומצא. נציב \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), וכן \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). הערכים הומצאו לצורך המחשת החשבון ואינם אומדנים מנתוני שוק. העדכון של האיבר שמחוץ לאלכסון הוא:

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

כדי להמחיש את הנרמול, נניח שהערכים האלכסוניים המומצאים הם \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) ו־\(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). אותה רקורסיה נותנת:

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

לכן המתאם לאחר הנרמול הוא:

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

האיבר מחוץ לאלכסון במטריצת העזר השתנה מ־0.30 ל־0.35, אך המתאם המדווח הוא בערך 0.34 מפני שגם האלכסון של \(Q_t\) השתנה. דיווח על \(q_{12,t}=0.35\) כאילו היה המתאם מדלג על שלב הנרמול. החישוב מדגים רק שלב רקורסיה אחד; הוא אינו מלמד על מובהקות סטטיסטית, התמדה בעתיד, משקולות תיק אופטימליות או כדאיות מסחר.

DCC רגיל מחיל לעיתים קרובות את אותם פרמטרים סקלריים של תגובה והתמדה על כל הזוגות. הדבר חוסך פרמטרים כשיש נכסים רבים, אך עלול להגביל יתר על המידה אם כל זוג מסתגל בקצב אחר. בנוסף, תחת השם DCC עשויים להופיע פרמטריזציות, אילוצים, שיטות אמידה ואתחולים שונים. לכן חשוב לציין את המפרט המדויק.

המחקר של Aielli על DCC מתוקן מראה שהאומד המקובל והפרשנות של פרמטרי המתאם שלו עלולים לעורר בעיות כשהממד החתכי גדל, ומציע cDCC עם רקורסיה מתוקנת (Aielli, 2013). cDCC אינו שם אחר ל־DCC רגיל. ההבחנה חשובה במיוחד כשמרחיבים את המערכת לנכסים רבים או מפרשים את המקדמים הנאמדים באופן מבני.

מפרטי DCC מוכללים א־סימטריים מטפלים במגבלה אחרת: זעזועים מתוקננים חיוביים ושליליים עשויים להשפיע באופן שונה על המתאמים בעתיד. מודל AG-DCC של Cappiello, Engle ו־Sheppard מאפשר פרמטרים להשפעת חדשות ולהחלקה הייחודיים לכל סדרה, וכן א־סימטריה מותנית במתאמים (Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006). AG-DCC מוסיף גמישות מעבר לרקורסיית DCC הסקלרית המשותפת, ולכן מספר הפרמטרים, האילוצים והפרשנות משתנים. אין להחליף בו בשקט DCC רגיל או להניח שהוא עדיף ללא הערכה.

\(R_t\) שנאמד מתאר מתאמים מותנים הנובעים מהמודל, בתדירות נתונים, חלון מדגם, מפרט ממוצע, מודלי תנודתיות שוליים וגרסת DCC מסוימים. הוא אינו מזהה זליגה סיבתית. עלייה במתאם הנאמד בתקופת ירידות יכולה לנבוע מחדשות משותפות, משינוי בהרכב, מנזילות, ממפרט שגוי של התנודתיות או ממנגנונים אחרים; האומדן לבדו אינו מבדיל ביניהם.

למדידת סיכון, השוו את תחזית השונות המשותפת הדינמית לאמות מידה מתאימות, כגון שונות משותפת מתגלגלת או מודל של מתאם קבוע. השתמשו רק במידע שהיה זמין בכל מועד חיזוי, שמרו על אותו יקום נכסים ואופק, וציינו את פונקציית ההפסד. אם האומדן משמש בתיק, עקבו גם אחר השינויים בהמשך בְּמשקולות, בריכוזיות, במחזור, במימון ובעלויות עסקה. מתאם גבוה יותר עשוי להפחית פיזור לפי מודל סיכון מסוים, אך אינו תחזית לירידת מחיר של אחד הנכסים.

בדקו שהמתאמים הנאמדים נמצאים בטווחים תקינים, ש־\(R_t\) נשארת חיובית־מוגדרת, ושבשאריות השוליות המתוקננות לא נותרו תלות סדרתית או שונות משתנה. בדקו רגישות להרכב הנכסים, לאתחול, לחריגים, לחלון ולגרסת המודל. התמדה קרובה לאחת עשויה להאט את התגובה לשבר; רקורסיה חלקה עלולה גם לפגר אחרי שינוי משטר פתאומי. הגדירו כללי בחירה ושמרו השוואות מחוץ למדגם כדי למנוע בחירה סלקטיבית של גרפים או גרסאות נוחים.

נכון להבין את DCC-GARCH כמודל קומפקטי לשונות משותפת מותנית: המשוואות השוליות אומדות קני מידה משתנים, רקורסיית תלות עוקבת אחר תנועה משותפת בחדשנויות מתוקננות, והנרמול הופך את מטריצת העזר למתאמים. המטריצה הנאמדת יכולה לסייע בניתוח סיכון כאשר ההנחות מפורשות והתחזיות נבדקות. היא אינה מוכיחה כשלעצמה גידור יציב, מסבירה זעזוע או מוכיחה שאסטרטגיה תניב רווח.