תהליכים אפיניים ומשוואות ריקאטי מוסברים

עבור מצב מרקובי X, מודל אפיני שואף לקיים E[e^{u·X_T}|X_t=x] = exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x), כאשר τ=T−t

המילה אפיני מתייחסת לכך שהלוגריתם של הטרנספורם המותנה הזה הוא קבוע בתוספת פונקציה ליניארית של המצב הנוכחי

המסלולים עצמם עדיין יכולים להיות לא־ליניאריים, הטרוסקדסטיים ולא־רציפים; גם שונות מסוג שורש ריבועי וגם עוצמת קפיצות יכולות להשתייך למחלקה הזו

מצבים קנוניים נפוצים משלבים קואורדינטות לא־שליליות, כגון שונות או עוצמה, עם קואורדינטות ממשיות בלתי־מוגבלות, כגון לוגריתם המחיר

הסחף, הדיפוזיה ומידות הקפיצה חייבים לעמוד בתנאי קבילות, כדי שהתהליך יישאר במרחב המצבים שלו ויגדיר חוק מרקובי תקף

נוסחה שנראית אפינית אינה מספיקה: שונות שלילית, פעילות קפיצות מתפוצצת או תנאי קיום שנכשל עלולים לפסול את המפרט

הטרנספורם יכול לקודד פונקציות אופייניות, טרנספורמי לפלס, מומנטים, מחירי אג״ח ואבני בניין של תשלומים מהוונים

במקום לשחזר צפיפות מעבר שלמה, מחשבים את φ ואת ψ בארגומנט המרוכב הנדרש בנוסחת התמחור

ההפרדה הזו עוצמתית: המודל הסטוכסטי מספק טרנספורם, ואילו היפוך או טרנספורם של תשלום ממירים אותו למחירים

הצבת האנסץ האקספוננציאלי־אפיני במשוואת היוצר מקבצת את האיברים הקבועים לתוך φ ואת האיברים הליניאריים במצב לתוך ψ

התוצאה היא מערכת מצומדת כגון ∂τφ = F(ψ) ו־∂τψ = R(ψ), עם תנאי התחלה φ(0,u)=0 ו־ψ(0,u)=u

איברי דיפוזיה הופכים את R לריבועית, ואילו קפיצות מוסיפות אינטגרלים של טרנספורמים, ולכן המשוואות נקראות משוואות ריקאטי מוכללות

CIR משתמש במצב לא־שלילי מסוג שורש ריבועי, ואילו Heston מצמיד את לוגריתם המחיר לשונות מסוג שורש ריבועי ומשמר טרנספורם משותף אפיני

מודלים אפיניים של מבנה־טווח ושל אשראי יכולים להפוך ריביות קצרות, עוצמות חדלות פירעון או מפצי קפיצות לפונקציות אפיניות של המצב

ארכיטקטורת הטרנספורם המשותפת אינה הופכת את המודלים לשקולים; לכל אחד מהם מגבלות מצב, התנהגות זנב ומשמעות כלכלית שונות

הפונקציה האופיינית קיימת עבור תדרים ממשיים, אך מומנטים אקספוננציאליים בארגומנטים מרוכבים עשויים להתקיים רק בתחום מוגבל

פתרון ריקאטי יכול להתפוצץ באופק סופי, ובכך לאותת על כשל מומנט ולא בהכרח על סיום התהליך ההסתברותי הבסיסי

ביטויים בצורה סגורה דורשים גם ענפים עקביים של שורש ריבועי ולוגריתם; צורות שקולות אלגברית עשויות להתנהג אחרת בחשבון בנקודה צפה

בדקו ערכי התחלה, את יחס החבורה למחצה, סימטריה צמודה, את תנאי המרטינגייל ומקרי גבול ידועים לפני תמחור אופציות

נטרו את פותר הריקאטי, את תחום הטרנספורם, את רציפות הענף ואת הרגישות לסבילויות על פני רשתות של מועדים ופרמטרים

פתירות אפינית מצמצמת בעיה קשה אחת לבעיות קטנות יותר; היא אינה מבטלת סיכון כיול, שגיאה נומרית או מפרט מודל שגוי