Hauptkomponentenanalyse (PCA) erklärt
Lernen Sie Zentrierung, Skalierung, Kovarianz, Komponentenscores und Ladungen, erklärte Varianz, Komponentenauswahl und die Grenzen der PCA im Finanzwesen kennen
Kurzantwort
Die Hauptkomponentenanalyse (PCA) transformiert korrelierte Variablen in eine kleinere Menge orthogonaler Achsen, die möglichst viel Stichprobenvarianz bewahren. Die erste Komponente erfasst die größte Varianz, und jede spätere Komponente erfasst die größte verbleibende Varianz, während sie orthogonal zu den früheren Achsen bleibt. PCA kann Risiko zusammenfassen und Prädiktoren erzeugen, entdeckt aber nicht automatisch wirtschaftliche Faktoren. Die Ergebnisse hängen von Einheiten, Stichprobendaten, Kovarianzschätzung und Komponentenauswahl ab; Scores, Ladungen, erklärte Varianz und Stabilität außerhalb der Stichprobe gehören in dieselbe Analyse
Stellen Sie die Daten auf eine bewusste Ausgangsbasis
PCA wird auf zentrierte Daten angewandt, nachdem von jeder Variablen ihr Stichprobenmittel abgezogen wurde. Andernfalls können durchschnittliche Niveaus das dominieren, was eigentlich eine Richtung der Variation sein sollte
Wählen Sie vor der Berechnung sinnvolle Transformationen. Ein gemeinsamer Trend in nichtstationären Preisniveaus kann sich als nützliches gemeinsames Risikosignal tarnen
Fehlende Werte, Ausreißer, Frequenz und Stichprobenfenster verändern die Kovarianz. Das Datendesign vor der PCA ist wichtiger als der Name, der danach vergeben wird
Kovarianz und Korrelation beantworten unterschiedliche Fragen
Eine PCA der Kovarianzmatrix bewahrt die ursprünglichen Einheiten, sodass eine Variable mit höherer Volatilität größeren Einfluss auf die führenden Richtungen ausüben kann
Eine PCA der Korrelationsmatrix skaliert zunächst jede Variable auf Varianz eins. Sie begrenzt den Einfluss der Einheiten, kann aber wirtschaftlich relevante Unterschiede in der Größenordnung verwerfen
Das Ziel bestimmt die Wahl. Änderungen von Renditen in ähnlichen Einheiten und eine gemischte Sammlung von Indikatoren benötigen nicht unbedingt dieselbe Matrix
Komponenten maximieren Varianz nacheinander
Die erste Hauptkomponente ist die Einheitsrichtung, deren projizierte Beobachtungen die größtmögliche Stichprobenvarianz haben
Jede spätere Komponente maximiert die verbleibende projizierte Varianz unter der Nebenbedingung, orthogonal zu allen zuvor ausgewählten Komponenten zu sein
Orthogonalität macht Komponentenscores in der angepassten Stichprobe unkorreliert. Sie beweist nicht, dass zugrunde liegende wirtschaftliche Schocks unabhängig sind
Ladungen und Scores erfüllen unterschiedliche Aufgaben
Ladungen sind die Gewichte, die ursprüngliche Variablen zu einer Komponente kombinieren. Sie zeigen, welche Variablen in eine bestimmte Achse hinein oder gegen sie weisen
Scores sind die Koordinaten, die entstehen, wenn jede Beobachtung auf diese Achse projiziert wird. Ladungen definieren eine Richtung; Scores bewegen sich im Zeitverlauf entlang dieser Richtung
Ein Eigenvektor kann mit minus eins multipliziert werden, ohne seine Achse zu verändern. Ein Vorzeichenwechsel allein ist kein Beweis dafür, dass sich eine wirtschaftliche Beziehung umgekehrt hat
Die erklärte Varianz ist ein unvollständiges Ziel
Der Eigenwert einer Komponente entspricht ihrer Stichprobenvarianz. Teilt man ihn durch die Summe aller Eigenwerte, erhält man ihren Anteil an der erklärten Varianz
Ein Scree-Plot und die kumulierte erklärte Varianz sind Ausgangspunkte für die Wahl der Dimension. Eine feste Schwelle wie 80 % ist nicht universell optimal
Eine Richtung mit geringer Varianz kann trotzdem prädiktive Informationen oder eine bindende Absicherungsbeziehung enthalten. Erklärte Varianz ist nicht dasselbe wie Vorhersagbarkeit von Renditen
Wählen Sie die Dimension außerhalb der angepassten Stichprobe
Zu wenige Komponenten lassen Struktur weg, während zu viele neben einer dauerhaften gemeinsamen Bewegung auch Stichprobenrauschen bewahren
Vergleichen Sie Rekonstruktionsfehler, aufgabenspezifische Cross-Validation, Eigenwertabstände und Bootstrap-Stabilität entsprechend der vorgesehenen Verwendung
Schätzen Sie Ladungen und erklärte Varianz über rollierende Stichproben neu. Die Verwendung von Achsen der Gesamtstichprobe in einer historischen Prognose führt Zukunftsinformation ein
Das Finanzwesen verwendet PCA, um gemeinsame Bewegungen zusammenzufassen
Änderungen der Zinsstrukturkurve können sich in Achsen ähnlich wie Niveau, Steigung und Krümmung komprimieren, während Aktienrenditen breite und gruppenspezifische Richtungen offenlegen können
Bei Portfolios zeigen die führenden Achsen, ob das Risiko trotz einer großen nominalen Zahl von Positionen konzentriert ist
Eine statistische Achse als „Wachstum“ oder „Liquidität“ zu bezeichnen erfordert externe Variablen, wirtschaftliche Überlegungen und eine Validierung in einer anderen Stichprobe
Legen Sie Entscheidungen offen, die das Ergebnis reproduzierbar machen
Geben Sie Variablen, Transformationen, Währungen, Einheiten, Zentrierung, Skalierung, Behandlung fehlender Werte, Ausreißer und Schätzfenster an
Nennen Sie Matrix, Eigenwerte, erklärte Varianz, Ladungen, Scoring-Regel und Dimensionskriterium, damit ein anderer Analyst das Ergebnis nachbauen kann
Zeigen Sie Performance außerhalb der Stichprobe und rollierende Stabilität. PCA ist ein geschätztes Koordinatensystem für ausgewählte Daten und keine feste Karte der Realität
Häufige Fragen
Sind PCA und Faktorenanalyse dasselbe?
Nein. PCA formuliert die gesamte Varianz neu, während ein Common-Factor-Modell gemeinsame Kovarianz von variablenspezifischer Varianz trennt
Sollte jede Variable immer standardisiert werden?
Nein. Standardisierung kontrolliert Einheitenunterschiede, entfernt aber auch potenziell bedeutende Unterschiede in der Volatilitätsgröße
Bedeutet ein Vorzeichenwechsel einer Ladung, dass sich die Struktur verändert hat?
Nicht unbedingt. Ein Eigenvektor und sein Negatives definieren dieselbe Achse; Vorzeichen müssen daher vor einem Fenstervergleich angeglichen werden
Ist eine Komponente mit hoher erklärter Varianz ein gutes Handelssignal?
Nein. Erklärte Varianz misst zeitgleiche Bewegung; Prognosekraft erfordert einen separaten Test außerhalb der Stichprobe